数列的求和及综合应用

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1、②等差数列中,S^^=S.【考点剖析】1.命题方向预测：考查数列的求和方法，以等差数列、等比数列的求和公式为基础，重点考查“错位相减法"裂项相消法〃等求和方法，在此基础上将数列与函数方程、不等式、解析几何等结合结合考查,难度在屮等偏上.2.课本结论总结：sjp讥叫止生（1）等差数列的前力和的求和公式：22.（2）等比数列前并项和公式一般地，设等比数列Z的前丹项和是冷^二叫+丐十碍十…*%,当"1S^giQ-ga）s_5一7时，■或111-孑；当0=1时，S.=叫（错位相减法）.（3）数列前熬项和①重要公式：（1）I1+2+3+--+n=

2、2⑵S(»-D=1+3+5++(2»-!)=„.=l5+254Ji*=—(3)(4)另F=F+22+32+-+n2=-

3、建立数学模型（2）数列实

4、际应用问题的常见模型有①等差模型；②等比模型；③混合模型；④生长模型;③递推模型.用数列知识解相关的实际问题，关键是弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后结合数列相关知识求解.3.名师二级结论：1）公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前力项和的公式来求和•对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2）倒序相加法：类似于等差数列的前丹项和的公式的推导方法，如果一个数列｛町的前兀项屮首末两端等“距离〃的两项的和相等或等于同一个常

5、数，那么求这个数列的前丹项和即可用倒序相加法，如等差数列的前力项和公式即是用此法推导的.3）错位相减法：如杲一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前兀项和即可用此法來求，如等比数列的前力项和公式就是用此法推导的.若%=叽叫，其中｛咼是等差数列，｛石是公比为。等比数列，令S.=毎°!十$勺+~■+^!LCa,贝

6、J=毎Cj+&2C3+--+ftBhlC

7、SL两式错位相减并整理即得.4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项Z差，即数列的每一项都可按此法拆成两项Z差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前丹项的

8、和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法•适用于类似（其中｛%｝是各项不为零的等差数列，C为常数）的数列、部分无理数列等•用裂项相消法求和，需要常握一些常见的裂项方法:(1)n(n+It)n+fcj,待别地当e=i时，HB+1(2)-j==~~f=,特别地当E=1时，Vn+l+Vw(3)(2n-l)(2n+l)=1+(4)n(ji+l)(n+2)2ln(n+l)(n+l)(n+2)(5)PM》g)5.)分组转化求和法：有一类数列｛久十加〉，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将

9、这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6)并项求和法：一个数列的前熬项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如%=(一1)“1)类型，可采用两项合并求解.例如，5a=1002-992+982-972+-+22-l2=(100+99)+(98+97)+-+(2+1)=50507)在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项Z差;⑵在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项.对于不能由等差数列、等比数列的前门项和公式直

10、接求和的问题，一•般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和.应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前力项和公式.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.的表达式.用错位相减法求和吋，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出■〃与"於■〃的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〃以便下一步准确写出“S._qS.”8

11、)［易错提示］利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：1111■■—III(1)裂项过程中易忽视常数，如心十习容易误裂为丹»+2,漏掉前面的系数2；⑵裂项Z后相消的过程中容易出现丢项或添项