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《复旦大学材料物理第8课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第8课简并微扰一散射波较强的情况当k=n/r/a以及k'=-njr/a时，这两个状态能量相等，属于简并态的情况，此时我们必须用简并微扰法来处理。这时若认为呎)二古严是前进的平面波，那么呎就是布拉格反射波。零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合。实际上在波矢接近布拉格反射条件时，即△为小量时,>k=——(1+A)aI«n兀ziaK=(1-A)a散射被已相当强。零级被函数也必须写成：代入薛定鄂方程，冇仔+帶(H小o分别从左边乘上0厂或況:，然后对dx积分，就得到两个线性代数方程式【注意：巩或妙：有正交关系】:(E-E^A-VnB=O这组方程A、B
2、有非零解的条件是-V<>+(E-Ef.)B=OE_E；-V,.=o-匕：e-eI此方程的解为E冷电+珥土J(E：-卑尸+
3、匕『｝鼻(也)2(1+&)±+也2[Y(也)2]22maV2ma或E=7；,(l+A2)±7
4、K
5、2+4A27；t2其中Tn=—(—)2,是白由电子k=—的动能。2maa几种极限情况:1.A=0,则E=Tfl±^即原来能量都等于Tn的两个状态，k=la以及由于波的相互作用很强，变成两个能量不同的状态，一个状态能量是E=7；-1匕另一个是£=7；+
6、匕
7、,其间的能量差为禁带宽度。注意，禁2兀带发生在波矢k=n/r/a以L加7°
8、之处。禁带宽度等于周期性势能展开式屮，波矢为Kn=n—的傅a里吁分最V()的绝对值的两倍。当E=Tn+Vnf可以解出养化I若匕=
9、可严,则A=B严。由此罕cos（凹X+&）4la当E=Tn-Vn,nJ以解出则A=-Be2ie。由此以=绊二sin（必兀+0）y/La由此可见，零级近似的波函数代表驻波。在这两个驻波状态，电子的平均速度为零。产牛驻波的原因是：rr波矢为k=n;r/a的平面被，波长2=—=—正好满足布拉格反射条件，遭到全反射，同入射波干涉，kn从而形成驻波。TT在拓、茫的表达式式屮选取某一个原于为坐标原点，可以画出波函数的几
10、率密度分布，相当于0=-的2情况。涎的状态其能量为人-
11、匕
12、，是低能态，因为它在靠近」E离子的区域几率较大，受到强的吸引，势子附近7；△口
13、K
14、<7；,,则E=7；j(1+A2)±7
15、K
16、2+4A27；2保阳到次项，对以展开为2=人+
17、匕
18、+直(1+以及E_=Tn-Vf]-T^-^图&1.7花全反射条件附近的戰&）曲线这说明在禁带之上的一个能带底部，能量耳随相对波矢△的变化关系是向上弯的抛物线。在禁带下边能带顶部，能量£随相对波矢的变化关系也是一个抛物线，但是向卜-弯的。所以在产生全反射的波长附近，E±Dk关系有如图所示的形式。根据上述讨论，
19、我们可以知道禁带出现在k空间倒格矢的屮点上，禁带宽度的人小取决于周期件势能的有关傅里叶分量。如果E；_E：.比氏
20、大很多,BP27；A□氏由E=7；X1+A2）±7
21、kF+4^V可有2丨对ly「E7(1-△)2-甘士这个结果同上节非简并微扰结果相近，在其他所有波矢状态小保留「个"，它对状态k有特别人的影响。【非简并微扰的结果:E=T+Y'必」k丄”厶“£()_£()由以上讨论可知，白由电子的能谱是抛物线关系：E；计入周期场的微扰作用，在波矢7T27U37T=±—，土——，土——,aaa处，发生能量不连续，形成了能带，产牛的能带宽度依次为2间,2
22、
23、匕
24、,2旳,・••的禁带。在离这些点较远的波矢，电了能量同自由电了的能量相近。这些情况如图8.1.8屮的粗线所示。还应注意波矢k和k+n—两a个状态不是独立的，而是等价的。因为对于平移基矢算符T,这两个状态有相同的本征值。注意：在同一能带中，给定一个k,其对应的能量是唯一的，而给定一个能量可以有多个k对应！能带的几个特点：a）k空间的平移对称性'必（兀）=丫2松（兀）k+aE=k）=E”伙+遊）ab）k空间的反演对称性En(k)=En(~k)在图5——16中，实线代表的E〜k关系分成许多区域：波矢介-龙/d到兀七込间的区域称为第一个布里渊区；波矢
25、介于la到-兀la,以及;r/d到2;r/d之间的区域称为第二个布里渊区，其余类推。既然E（k）=E（k+却a所以对于任何能带均可在-龙/d到;r/a的波矢范围内表达。这个区间称为简约布里渊区。在简约布里渊区内E〜k关系是多值函数，记为E(A)其屮S是能带的编号。在k空间每个波矢占有的线度是-2/r/Na.这里N是晶体的原胞数，
26、佃简约布里渊区在k空间的线度为Mia,因而简约布里渊区中含有2兀（2龙/0）/—=2个Na简约波矢。每个能带有N个简约波矢标志的能态，计入白旋后每个能带可容纳2N个电了。能带的三种表示图式a）扩展能区图式b）简约能区图式
27、c）周期能区图式晶体中电子的速度、加速度和有效质量aa现在讨论外场作用下晶体电于的运动规律，这首先要知道晶体屮电子在波矢ko状态的平均运
