数学高考总复习：导数的应用

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1、数学高考总复习：导数的应用编稿：林景飞责编：严春梅一、知识结构：二、高考考点：1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑川1线切线的斜率等）；2.了解函数在点处的导数的定义和学握导数的几何意义；3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.；5.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数・；6.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧界号），会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；&了解定积分的实际背景，了解定积分

2、的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。三、知识要点：（一）导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：/（忌）表示运动物体在时刻斤的瞬时速度;气球半径厂关于体积厂的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何虑义：过Illi线y=f（x）上任意一点（x,y）的切线的斜率就是f（x）在x处的导数，即也就是说，曲线y=f（x）在点P（x°,f（x。））处的切线的斜率是几*>,切线方程为(二)求导数的方法：③(品寸・8瓯;I、儿种常见函数的导数公式：①^y-0(C3W®)；②0・才时)(cosj^^-anjr⑦血3弓右⑧(txy=ljr2、导数的四则运算法则:(

3、二)导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：(1)求出函数八他)在2｛处的导数尸®；(2)利用H线的点斜式得切线方程。(注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在Illi线上，可设岀切点，写岀切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.)2、判定函数的单调性(1)西数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性处义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b戊0分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。(2)函数的单调性与其导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当/%

4、刃》°时f(x)为增函数；当#3"吋f(x)为减函数。3、求函数的极值与最值(1)函数极值只反映函数在某点附近值的人小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个,而且极小值未必小于极大值。12=°仅是函数f(x)在点X。处有极值的必要条件，点X。是f(x)的极值点，当但仅当在X。的左右如的符号产生变化。(2)函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]±必冇一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。(3)在实际问题屮，要由实际问题的背景构造出和应的函数关系式y=f(x),并注叨其定义域,当=。在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，贝U

5、此点即为函数f(x)的最值点。(二)定积分的概念及其应用1•定积分的定义：如果函数“)在区间［a,b］上连续，用分点"毛55<•・•Axi«，当QTco时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做才在区间［a,b］上的定积分.记作2.定积分的性质：(1)【5或女*(占为常数)(2)(3)+3.微积分基本定理：如果咲)5叭在S］上_，则_具中叫做的一个原函数.由于［咖+cl1=fg也是4)的原函数，其屮c为常数.-般地，原函数在［"】上的改变量陀)1%〉简记作

6、.因此，微积分基本定理可以写成形式：=.注：求定积分主要是要找到被积函数的,也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于.由此，求导运算与求原函数运算互为.4.定积分的儿何意义：设函数")在区间k上］上连续.在bQ上当时，定积分［肌讣在几何上表示由曲线》=/（©以及立线x=

7、在万轴下方的图形的而积赋予符号，那么在i般情形下，定积分的几何意义是曲线八/何，两条直线z=tf>z=i与兰轴所围成的各部分血积的代数和.3.应用定积分求面积（1）如图，由in［线X"3宀（不妨设A“）之虫®"及百线24"链围成图形的面积公式为："f（2）如图，在区间则曲边梯形的面积为9丿——月.^=/w6•利用能积分求平面图形血积的步骤:(1)画出草图，在百角坐标系屮画出Illi线或•百线的大致图像；(2)借助图形确定岀被积函数，求岀交点坐标，确定积分的上、下限;(3)写出定积分表达式；(4)求出平面图形的面积.7.利川函数的奇偶性求积