微积分教学资料——多元函数

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1、多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值一、重要定义、定理及公式1.多元函数、様眼与连续概念（二元函数定义）以兀y为自变量,z为因变量的二元函数记作z=/（x,y）,（兀,y）wD.数对集D是函数的定义域，/是由（兀,y）对应z的法则;若记Z=[zz=f（x,y）,（x,y）eD）,则Z是函数的值域.几何意义函数z=/（兀,刃,（兀,刃丘D,其图形是空间直角坐标系下一张空间曲面;该曲面在O巧平面上的投影区域就

2、是该函数的定义域D.（二元函数的极限）函数z=/（兀,y）在点CjOo，%）的某一邻域内除去点Pq以外都有定义.如果动点P（x,y）与定点乙（兀（）』（））之间的距离p-J（x_x（））2+（y_y（））2趋向于0时,/（兀,刃趋向于一个常数A,那么就称A为P趋向于人时函数/（兀y）的极限，记作lim/(x,j)=A.(*」)->(勺,为)求极限的方法1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依旧成立。如：两个重耍极限，等价无穷小法则等等。IxtOy->022x+y(1).lim(l+xy)tanxy；(2)、xtOy->011xylim

3、—-—xTOianxyt解：(1)：lim(l+xy)tanxy=lim(l+xy)xytonxy=0^°=e,=extOxtOyTOyTO(2)：Jx2-y2=x2-y20y—>02、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路径LI,L2,使得PtR）,但是函数取得的极限却是不同的a,B时，则我们称其函数极限不存在。'xy220讨论f（x,y）=x2+y2,*+丫在（。，°）处的极限。X_+y=0解：取不同路径y=k

4、x,当x趙近0时，y趙近0,但方式不同,limf(x,y)=limy=kx—>0y=kx—>0xy22x+y=limkx「x^O(l+k2)X2k1+k2显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以我们说函数在（0,0）的极限不存在。二次极限与二重极限的关系称lim（limf（x,y））和lim（limf（x,y））为函数f（x,y）在点（xo,yo）的二次极限。【注】xtx（）y->y（）yTy（）xtx°二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。（1）显然有：lim（xsin—+ysin丄）=0+0=0,但是二次极限不存在。xtOVXy->0"x

5、y(2)、上面例题说明f(x,y)=

6、x函数Z=f（x,y）在点（x0,y0）关于y的偏导数记作fy{x^y^,z,（兀0』0）淀义为1曲如如色上如如4toAy函数z=f（x,y）在区域D内每一点（兀y）的偏导数分别记作偏导数存在与连续的关系二元函数/（兀y）在点花（兀0,北）连续不是偏导数存在的必要条件;偏导数存在也未必连续.[94-11：z=f（x,y）在点（xo,yo）处的偏导数都存在，是z=f（x,y）在（x（）,yo）连续的（）。（A）：充要条件（B）充分非必要条件（C）非充分非必要条件。（C）2J,cX9+y，在(0,0)处()ox~+y~=0xy[92-11：f(x,y)=

7、续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在（C）求空隔（2丄）解:代入，得d2zMy©i[94-1]z=f(x.y)=pxsin—,ydz-X.X-XX1—=—p.sin—+pcos—•—dxyyydzxzxx...1x•兀、/兀、=-ecos—•(——)+ecos—+幺(-sin—)•(——)dxdyy)ryyyy高阶偏导数函数"/（x,y）在偏导数賈尖关于兀和关于）,的偏导数，称为/（x,y）的二dxdy阶偏导数，共有四个:az-axaza?.//\/nkdxd-ax_f”d