认识深化后 结论推广时

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1、16中等数学巧思妙解认识深化后　结论推广时罗增儒(陕西师范大学数学系,710062)　　本文以2005年全国初中数学联赛的两ac<0,知a>0>c.由道解答题为例,说明如何认识解题思路,怎样333f=a+b+c<0,改进解题过程.555乘以4a并配方得1　领悟解题思路2322a+b

2、.为了叙述方便,记一元二次方程所对应5的一元二次函数为又由f(1)>0,有a+b+c>0,可推出f(x)=ax2+bx+c.2a+b>a+b+c>0.对f(1)>0乘以4a后,配方有3于是,问题便归结为ff(1)<0.(2a+b)225>b-4ac,2但这是为什么呢?即2a+b>b-4ac.21.1　思路探求———归结为f3f(1)<0故-b+b-4ac<1.52a(1)几何直观的代数解读3可见,当a>0>c,f<0,f(1)>0为了说明所给的一元二次方程有大于53时,有而小于1的根,从图像上看,应有523-b+b-4ac<

3、<1.352aff(1)<0.这有两种情况:5这样,例1的证明便归结为,由已知的两当a>0时,f3<0,f(1)>0;个条件推出f3f(1)<0即可.553(2)定比分点的视角当a<0时,f>0,f(1)<0.53为了代数叙述的方便,不妨设a>0.由为了证明5

4、只须证明存在λ>0,使得33-10f=a<0,355+λx=5.3-25-31+λf(1)=a-c>0.33代入原方程有当a<0时,必有c>0,则2332a+λ+b+λ(1+λ)+c(1+λ)=0.33-1055f=a>0,55将其整理成关于λ的一元二次方程3-25-3233f(1)=a-c<0.(a+b+c)λ+2a+1+b+2cλ+3355(2)乘以a避免讨论33a+b+c=0.33-10255af=a<0,55此方程有正根,即3-225-32333af(1)=a-ac>0.f(1)λ+2a+1+b+2cλ+f=0335

5、5523有正根.从而,aff(1)<0,即53f35ff(1)<0.由根与系数的关系有λ1λ2=.5f(1)(3)优化假设避免讨论3可见,当ff(1)<0时,λ1λ2<0,若“不妨设a>0”,则a>0>c,就不用讨5论a<0的情况了.问题是这样做是否允许.从而必有正根λi>0.于是,事实上,a<0时,可设3

6、=0y2=f(1)=⋯=(3-2)-(5-3),aZ23ax+bx+c=0然后相乘得又是同解的.所以“不妨设,a>0”不会有逻3-102c2辑漏洞.y1y2=(3-2)a-(5-3)a,53a1.3　完整解法2再根据最后运算式来判断y1y2的符号.其证法1:记f(x)=ax+bx+c.由ac<0,不妨设a>0,则c<0.实,直接判断y1、y2的符号,可以少写一步.由已知有31.2　判断f、f(1)的符号①52a+3b+5c=0,3333直接判断f、f(1)的符号可以有a+b+c=f,②5555多种途径.a+b+c=f(1).

7、③(1)讨论1②-×①消去b、c得当a>0时,必有c<0,则5©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net18中等数学33-10而在式⑤或⑧中,又用到了f=a<0.④552<3<5(α<β<γ).3×③-①得对此,将2、3、5一般化,有下面的推3f(1)=(3-2)a-(5-3)c>0.广命题.2故f(1)>0.⑤命题1　实系数一元二次方程ax+bx④×⑤得+c=0中,ac<0.如果正

8、实数α、β、γ满足23α<β<γ,β<αγ,且αa+βb+γc=0,则一ff(1)<0.5β元二次方程有大于且小于1的根.γ3因此,方程必有一根介于与1之25证明:设f(x)=ax+bx+c.依题意有间.αa+βb+γc=0,①2证法2:易知方程βββ2a+b+c=f,②a2x2+abx+