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1、利用向量巧解中学数学题目录1.前言22.向量基本性质回顾33.向量巧解空间几何中的问题53.1向量巧解角的问题53.1.1求异面直线a与b所成角053.1.2求线面所成角e73.1.3求二面角的大小83.2向量巧解距离问题93.2.1求点到平面的距离93.2.2求两异面直线的距离103.3向量巧解平行与垂直的问题113.3.1平行113.3.2垂直12123.向量巧解平面解析儿何中的问题3.1平面儿何124.2解析儿何134.向量巧解复数的问题145.向量巧解三角函数的问题156.向量巧解其他代数问题
2、167.1求最值167.2求取值范围177.3解方程177.4代数求值177.5证明等式177.6解不等式187.7代数式197.8数列19&结束语191•前言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形丁一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握
3、解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。2.向量基本性质回顾1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。2.向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作屈o（AB是印刷体，书写体是上面加个一）有向线段期的长度叫做向量的模，记作丨忑有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。长度等于0的向量叫做零向量，记作6。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。3.相等向量与
4、共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量庁平行，记作a//b,零向量与任意向量平彳亍，即6//ao任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。4.向量的运算4.1加法运算AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。(首尾相连，指向级占)—、八、、/己知两个从同一点0出发的两个向量页、亦，以鬲、亦为邻边作平行四边形OACB,则以0为起点的对角线元就是向量刃、亦的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意
5、向量：，有：0+a=d+0=o。向量的加法满足所有的加法运算定律。3.2减法运算与。长度相等，方向相反的向量，叫做。的相反向量，一(一d)=o,零向量的相反向量仍然是零向量。(1)o+(—a)=(—q)+q=O(2)a—b=a+(―b)4.3数乘运算实数入与向量Q的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入d,a当入〉0时，入a的方向和d的方向相同，当入〈0时,Xd的方向和。的方向相反，当入二0吋，Xa二0o设入、u是实数，那么：(1)(Api)a=入(P°)(2)(入+u)a二入a+ua(3)入(
6、a±b)=Xa±入乙(4)(—X)a二一(入a)=入(一a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。4.向量的数量积已知两个非零向量a、b,那么
7、a
8、
9、&
10、cos。叫做。与E的数量积或内积，记作6t-b,0是a与&的夹角，
11、aIcos0(
12、bcos0)叫做向量a在&方向上(/在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。的几何意义：数量积等于d的长度
13、°
14、与庁在d的方向上的投影
15、b
16、cos0的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。向量的数量积的性质(1)/a二
17、°
18、220(
19、2)6/b=ba(1)4a-b)=(ka)^=a(kb)(2)a・(b+c丿二a・b+ab(3)«b=0<=>a±b3.平面向量的基本定理如果石和石是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量二有且只有一对实数入、口，使：二入才+u石。4.空间向量的基本性质7.1共线向量定理对空间任意两个向量：、b（&工6）,a//b的充要条件是存在实数入，使：二入庁7.2共面向量定理如果两个向量：，&不共线，则向量'与向量2,卩共面的充耍条件是存在实数对x,y,使卫二xa+yb7.3向量的数量积—♦—♦—
20、♦—♦—♦—>a・b二a・bcos〈a,b>7.4数量积的性质a丄/?u>a・b二0-a^a22.向量巧解空间几何中的问题3.1向量巧解角的问题3.1.1求异面直线a与b所成角0求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握如下公式:CD=(x2,y2,z2),向量期和西所成的角记为,若AB=(x^y^z,)cos
