32导数与函数的单调性、极值、最值

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1、§3.2导数与函数的单调性、极值、最值教学目标1•了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极人值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。学习内容汐知识梳理1.函数的单调性设函数y=f(x)在区间(g，方)内可导，如果在(a,方)内，f(x)>0,则/(x)在此区间是增函数；如果在(a,b)内,£(x)<0,则/(x)在此区间是减函数.2.函数的极值已知函数y=/(x),设xo是定义域(g,b)内任一点，如果对xo附近所有点x

2、,都有心)<险),则称*1数./(x)在点xo处取极大值，记作如曰或，并把川称为函数/U)的-个极大值点;如果在丸附近都有.血沁)，贝U称函数./W在点Xo处取极小值，记作v致、=心」，并把心称为函数/U)的一个极小值点:.3.求可导函数极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)=0的所有实数根：(3)考察在每个根X。附近，从左到右，导函数/⑴的符号如何变化.如果/⑴的符号由正变负，则心))是极大值;如果/⑴的符号由负变正，则心、)是极小值.如果在/(x)=0的根x=x°的左、右侧，f(X)符号不变，则心。)不是极值.

3、4.函数的最值⑴在闭区间［a,b］上连续的函数Xx)在［a,b］上必冇授大值与授小值.(2)若函数/(X)在［a,切上单调递增，则.他为函数的最小值，.他为函数的最人值；若函数./⑴在［a,切上单调递减，则.血为函数的最人值，/(b)为函数的最小值.(3)求可导函数.心)在［a,b］上的最人值和最小值的步骤如下：①求.心)在(。，4内的极值;②将伽的各极值与紅)，进行比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例题讲解题型一利用导数研究函数的单•调性U例11已矢口函数j［x)=^—ax—.(1)求/(x)的单调增区间；(

4、2)是否存在°,使金)在(一2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.解f(X)=C'-6Z,⑴若gWO,则f(x)=er-gNO,即./(x)在R上单调递增，若d>0,.•.e—a,x21na.因此当oWO时，沧)的单调增区间为R,当°>0时，.心)的单调增区间是［Ina,+oo).(2)7/(x)=cx-^0在(-2,3)上恒成立..•.aNe'在xG(-2,3)上恒成立.又-2

5、.广(x)=er-e3在xG(—2,3)上，/(x)<0,即人x)在(-2,3)上为减函数，・・・a$/故存在实数使.心)在(-2,3)上为减函数.思维升华⑴利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)沧)为增函数的充要条件是对任意的xW(a,b)都有/(x)2O且在(°,方)内的任一非空子区间上/(QHO.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.［］巩固】⑴设函数Ax)=

6、?-(1+67)x2+467X+24tz,其中常数Q1,则/(x)的单调减区间为・答案(2,2a)

7、解析f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由q>1知，当*2时，f(x)>0,故/(兀)在区间(-8,2)上是增函数；当22a时，f(x)>0,故.几¥)在区间(2a,+上是增函数.综上，当a>时，/(X)在区间(-8,2)和(2°,+°°)上是增函数，在区间(2,2°)上是减函数.(2)若/(x)=—*+1呛+2)在(一1,+8)上是减函数，则b的取值范围是.答案(一8,-1］解析转化为./(兀)=-x+土W0在［-1,+8)

8、上恒成立，即bWx(x+2)在［-1,+8)上恒成立，令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,所以g(x)min=-l，则方的取值范围是(-8,-1].题型二利用导数求函数的极值U例21设a>0,函数心)=^x2—(a+)x+a(i+x).⑴求曲线丿=心)在(2,/⑵)处与直线y=~x+垂直的切线方程;(2)求函数久力的极值.思维启迪(1)通过/(2)的值确定G；(2)解f(x)=0,然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值.解⑴由已知，#x>0,f(x)=x_(a+1)+夕,•A尹=心)在(2,/(2))处切线的斜率

9、为1,所以.广(2)=1,即2-(a+l)+号=1,所以(7=0,此时/(2)=2-2=0,故所求的切线方程为夕=兀-2.(2)f(x)=x-(q+1)+?X_(q+])x+a(x_1)(x_a)=X=X•①当0<«<1时，若xe(o,a),f(x)>0,函数y