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《【创新设计】高中数学（苏教版选修1-2）学案：第2章推理与证明221直接证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明［学习目标］I.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.戸预习导学/挑战自我，点点落实［知识链接］1•综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.2.必修5中基本不等式吕巴$还泳0>0,b>0）是怎样证明的？答要证吕巴只需证a+b^2y［ab,只紺证a+b—2y［ab^0f只需证（辺一远尸三。，因为（&一
2、远）◎0显然成立，所以原不等式成立.［预习导引］1.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题吋常用的思维方式.2.综合法从C知条件岀发,以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法.3.分析法从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知爭实吻合为止,这种证明方法通常称为分析法.戸课堂讲义J重点难点，个个击破要点一综合法的应用例1已知a,b是正数，且a+b=if求证：
3、+
4、^4.证明方法一
5、Tq,b是正数且a+b=,.a+b^2y/ab,二++£=^^=计$4.方法二Ta,b是正数，.'.a+b^2y/ab>0,・・2+硝+器4・又a+〃=1,/A+^>4.方法三++醫宁+穿=1+许舒&2+2^=4.当且仅当aF时，取“=”.规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言
6、，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1在△/BC中，三个内角/、B、C对应的边分别为°、b、c,且/、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：Z^BC为等边三角形.证明由/、B、C成等差数列，有2B=A+C.®因为力、B、C为△MBC的内角，所以A+B+C=n.®由①②，得亍③由a、b、c成等比数列，有b2=ac.@由余弦定理及③，可得b2=a1+c1—2accosB=a2+c2—ac.再由④，得a2+c2—ac=ac1即(a—cF=O,因此a=c,从而有A=C.⑤
7、由②③⑤，得A=B=C=^.所以△ABC为等边三角形.要点二分析法的应用例2设a,b为实数，求证：帖+血天+仍.证明当a+b^0时，・.・如+於0,/.yja2+b2+b）成立.当a+b>0时，用分析法证明如下：要证寸/+三芈⑺+b）,只需证（yja2+b2）22^（。+〃）2»即证/+/）2$*（/+方2+2肪），即证a2--b1^2ab.'：a2+b2^2ab对一切实数恒成立，:.yja2+b2^（a+b）成立.综上所述，不等式得证.规律方法分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、已经学过的定义
8、、定理、公理、公式、法则等）.这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“U”.跟踪演练2如图所示，SM丄平面MBC,MB丄BC,过力作S3的垂线，垂足为E,过E作SC的垂线，垂足为F.求证：/F丄SC.证明要证&F丄SC,只需证SC丄平面AEF,只需证AE_LSC（因为EF1SC）,只需证丄平面SBC,只需证AELBC（因为AE±SB）t只需证BC丄平面SAB,只需证BC丄S/（因为丄BC）.由SM丄平面M3C可知上式成立，所以/F丄SC.要点三综合法和分析法的综合应用已知°、b、c是不全相等的正数，且OC
9、<1・求证:a+bb+ca+clogA—2_+log/"^—+log.—abc.由已知0勺<1,只需证明222由公式Q：b,苔上$寸瓦>o,吕上$込^>0,又••I,b、c是不全相等的正数,a+bb+ca+c口/+〃b+ca+c八、即-^-^--^~>abc成立..a+bb+c••log”2+2a+c+log、"2~
