直线的斜率与方程

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1、直线的倾斜角、斜率和直线方程1.直线的倾斜角：一条与X轴相交的直线，把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°.直线的倾斜角的范围为［0，龙)・2、直线的斜率：当直线的倾斜角a#=90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示,即该直线的斜率k=tan6K；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.3.斜率公式：过两点Pi(xi,y0,P2(x2,y2)(xi=#X2)的直线的斜率公式为：k=—~(X］工兀2)•若Xi=X2

2、,则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.注意：直线的斜率"tana⑺违)关于倾斜角d的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围点斜式过点(X。，y。)且斜率为ky-y^k^x-x.)不含垂直于X轴的直线斜截式斜率为k,纵截距为by=kx+b不含垂直于X轴的直线两点式过两点(xi,yO>(x2,y2)(Xi=#X2且yiy2)y-yi_兀一兀】y2-Ji心-%,(xi#=x2且yi^=y2)不含垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴的截距分别为a、b(ab#=0)3=1ah不含垂直于坐标轴和过原点的

3、直线一般式A、B不全为0+0y+C=0(A、B不同时为0)注：设直线方程的一些常用技巧：(1)知直线纵截距b,常设其方程为y=kx+b(斜率丘存在时)；(2)知直线横裁距兀°,常设其方程为x=my+它不适用于斜率为0的直线)；(3)知直线过点(x0,y0),当斜率k存在时，常设其方程为y=£(%-兀())+尹0，当斜率幺不存在时，则其方程为x=x0；(4)与直线I:Ax--By+C=0平行的直线可表示为AxByCx=0；(5)与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线可表示为&—4y+G=0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰

4、当选择方程的形式，利用待定系数法求解。注意：经过任意两个不同点H(xi,yj、p2(x2,y2)的直线都可以用方程(y—yJ(x2—xi)=(x—xi)(y2—yO来表示5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种、和(1).当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定、线条件h:y=kix+biI2：y=k2x+b2h:Aix+Biy+Ci=012：A2X+B2y+C2=0平行&B2_=0（斜率）且B}C2-B2C}^0（在y轴上截距）重合4B,—4B=0且B

5、C,—B°C—0相交(垂直)AB

6、?—心3工0A}A^+B、Br=0(2)、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系.6、点到直线的距离、直线与直线的距离(1)、点卩(兀,几)到直线Ax+By-^-C=O的距离dJAx^By^C；(2)、两平行线l}:Ax-^Bv+C}=0,厶：++G=0间的距离为d=Q。'JA2+b?(3)、两点Pi(X1,yi),P2(x2,yd之间的距离公式是(4)、两点Pi(xi,yO,P2(x2,y?)的中点坐标公式是7、两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.练习1.经过两点〃(

7、4,2y+l),〃(2,—3)的直线的倾斜角为节，则尸尸一3.2.直线三■一占CTO=1在尹轴上的截距是33、已知直线AB的斜率为一，直线/的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线/的斜率。答:4解：设直线/的倾斜角为a,由题意知直线AB的倾斜角为2atan2a=kAB32tana_3oif?孑’二i_tan2a=7,即：3tana+8tana-3=0解之，得：tana=j或怕1106=一彳，・.・tan2a〉0,0°<2a<180°且2aH90°"J•••心冷心线/的斜率为专充要条件3."是“直线x+y=O和直线x-ay=Q

8、互相垂直”的条件5、"加=丄"是''直线(加+2)x+3my+1=0与另外一条直线(加一2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的条件.26、若直线x+3y—7=0和抵一尹一2=0与x轴、尹轴正方向所围成的四边形有外接圆，则丘为.7、设直线/的方程为x+ycos&+3=0(〃WR),则直线/的倾斜角&的范围是「p—解：当cos&=0时，方程变为％+3=0,其倾斜角为。冷；当cos&HO时，由直线方程可得斜率k=———.Vcos&e[―1,1]且cos&HO,COS&斜率kw(—8,—1]U[1,+°°).tan^ZE(―°°,—

9、1]U[1,+°°),rn口、(n3nn3n又QG[0,n),:.a亍2)uI*2»—・综上知，倾斜角OC的范围是才，—・yrn6,28、直线ax+y+1二0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交，则a的取值范围是(一oo,—2]U[l,+oo)解：由y+3的几何意义可