三视图中的小正方体计数问题[1]

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1、三视图中的小正方体计数问题湖北省黄右市下陆屮学宋毓彬通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小止方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这类问题如果没有学握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，述很容易出错。通过三视图计算组合图形的小止方体的个数，关键是耍弄清楚这个小.正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃

2、佃解了。在三视图中，通过主视图、俯视图町以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定

3、行与列中的最高层数。以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”一、结果唯一的计数例1在一仓库里堆放着若干个相同的止方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画C.11箱D.12箱了出來，如图所示，则这堆正方体货箱共有（）。A.9箱B.10箱分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3行，从左到右3列。由左视图：笫一行均为1层，第二行蝕高2层，第三行最高3层；由主视图：第一列、第三列均为1层，第二列（中间列）最高为3层。故第二行、第二列为2层，第三行第二列为3层，其余皆为1层。各行、各列小正

4、方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共冇3+1+1+2+1+1=9（箱）。二、结果不唯一的计数例2（“希望杯”数学邀请赛试题）如图2,是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个儿何体的主视图和俯视图，则这个儿何体的左视图不可能是（）。图2分析:由给出的主视图、俯视图可以看出,该几何体共有2行,3列。第1列均为1层,第2列最高2层，第3列最高3层。左视图为A时，第1行、第2行最高均为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列笫1行、笫2行均可为1层或2层，，但不能同时为1层；笫3列两行均为3层。此时,小正方体的个数如俯

5、视图A所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为1+2+2+3+3=11个。左视图为B时，第一行均为1层，第二行最高为3层。几何体屮，第1列第1行为1层第2列笫1行为1层笫2行均可为2层笫3列笫1行为1层，笫2行为3层。此时,小正方体的个数如俯视图B所示。小正方体个数为1+14-1+2+3=8（个）。左视图为C时，第1行最高为2层，第2行最高为3层。几何体屮，第1列第1行为1层；笫2列第1行为1层或2层，笫2行均为1层或2层，但不能同时为1层；笫3列笫1行为1层或2层（不能与第2列第1行同时都为1层），第2行为3层

6、。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+2+1+1+3=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。左视图为D时，笫1行最高为3层，笫2行最高为2层。儿何体中，笫1列笫1行为1层；第2列第1行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为3层，笫2行为1层或2层（不能与笫2列笫2行同时为1层）。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+14-3+2+1=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。三、根据两种视图确定计数范围例3（江阴市中考题）如图，是由一些大小相同的小正方

7、体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个儿何体的小正方体的块数为n,则n的所有可能的值之和为.主视图•俯视图分析：题设中给岀了主视图、俯视图，可知这个儿何体有3列，2行。第1列均为1层,笫2列最高2层，笫3列最高3层。几何体小止方形块数最少的情况是：笫1列只有1行，共1个小正方体；笫2列两行,至少有一行为2层，最少有2+1=3个小正方体，第3列两行屮至少有一行为3层，最少有1+3=4个正方体。因此几何体最少块数为1+3+4=8块。几何体小正方形块数最多的情况是：第1列只有1行，共1个小正方体；第2列两行,均为2层，共

8、冇2+2=4个小正方体，第3列两行均为3层，共冇3+3=6个正方体。因此儿何休最少块数为1+4+6=11块。故n的所有可能值为8,9,10,11,所有可能值之和为8+9+10+11=38o作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《语数外学习》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》、《课程导报》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、

9、技巧等教学方面的研究。