32函数模型及其应用学案

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1、§3.2函数模型及其应用——要点精析1.几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x,y=log2x,y=x2在第一象限的图象如图.函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数尸x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快.函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16).在xW(2,4)时，Iog2x<2x4时，Iog2

2、xl),y=logax(a>l)和y=xn(n>0)者B是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a>l)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>l)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个也，使当兀>尤0时，就有logjp"<".这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长.［例］下列函数屮，随兀的增人，增长速度最快的是()A.y=l,%eZB.y=xC.

3、y=2xD.y=ex解析指数函数模型增长速度最快，并且e>2,因而y=eA增长速度最快.答案D2.几类常见的函数模型⑴一次函数模型：f(x)=kx+b(k.b为常数，WHO)；(2)反比例函数模型：/⑴=£+方伙、b为常数,&0)；(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a.b、c为常数,aHO)；注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a.b、c为常数,°H0,b>0,bHl)；(5)对数函数模型：f(x)=mog

4、(tx+n(m>n、a为常数,a>0,aHl)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色.(6)幕函数模型：J{x)=axl+b(a^/?>n为常数，aHO,nHl)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.3.通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角处标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据求出函数模

5、型；(5)将已知数据代入所求出的两数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；(1)用求得的函数模型去解决实际问题.J♦—典例剖析一♦^题型一一次函数模型的应用►例1一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得

6、的利润最人？并计算每月最多能获得的利润.解本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析.设每天从报社买进x(250^x^400,炸N)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30%0.206%卖出20x+10X2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200设每天从报社买进兀份报纸时，每月所获利润为y元，则y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x+550(250WxW400,MN).Vy=0.8x+550在[250,400]上是增函数，・••当x=400

7、时,y取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元.点评一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么,列什么”这一方法来处理.题型二二次函数模型的应用.例2渔场中鱼群的最大养殖量为m(/n>0),为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于也，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k伙>0).(1)写出y关于兀的函数关系式,并指出该函数的定义域;(2)求鱼群

8、年增长量的最人值；(3)当鱼群年增长量达到最大吋，求k的収值范围.m—x解(1)根据题意知空闲率是fm一x“付y=kx・加(00、:.0