三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

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1、浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于sina±cossinacosa(或sin2a)的关系的推广应用：1、由丁•(sinG土cosa)2=sin2o+cos?a±2sinacosa=1±2smacosa故知道(sina±cosa),必可推出sinacosa(或sin2a),例如：h例1已知sin&—cos&二——，求sin'&-cos‘&。分析：由于sin'&-COS?&=(sin&-cos&Xsin?&+sin&cos^+cos2&)=(sin0-cos^)[

2、(sin6-cos0)2+3sin&cos&]其中，sin0-cosG已知，只要求出sincos0即可,此题是典型的知sin&-cos&,求sin&cos&的题型。解：•/(sin&-cos&)2=l-2sin&cos&故：l-2sin&cos&==—=>sin^cos^=—333sin3&一cos3&=(sin&—cos&)[(sin&—cos^)2+3sin&cos&]=^2+3x173x1=4^3333392、关于tg&+ctg&与sin&土cos&,sin&cos&的关系应用:由于tg&+ctg"泌+致jiL+COS&二cosOsm&sin&cos0sm&cos&故：tg&+ctg&

3、,sin&土cos&,sin&cos&三者中矢II其一可推出其余式子的值。例2若sin0+cos0二叫，且tg0+ctg0二n,则n的关系为()。A.m二nB.m―—lC•加=—D.n=——nnm分析：观察sin&+cos0与sincos的关系：sin&cos&=(sin&+cos&)2-1=也22而：t20+ct^O=nsin&cos&故：^-^=-=>m2=-+1,选B。2nn分析:已知：tga+ctga二4,则sin2a的值为A.-B.--221tga+ctga二sinacosa4=>si1smacosQ=—4D.)o~4故:答案选A。sin2a=2sinQcosa=>sin2a=—2

4、例4己知：tga+ctga二2,求sin46Z+cos4a分析：由上面例子已知，只要sin46Z+cos4a能化出含sina±cosa或sinacosa的式子，则即可根据已知tga^ctga进行计算。由于tga+ctga二sinacosdsincrcoscr=—,此题只要将sin"cr+cos4a化成含sinacosa的式子即可:2解：sin°a+cos4a二sin"a+cos°a+2sin'acos2a-2sir?acos2a=(sina+cosa)-2sinacosa=1~2(sinacosa)"17=l-2x(-)2242二丄~2通过以上例了，可以得出以下结论：由于sina土cosa,

5、sinacosa及tga+ctga三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式了的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sinacosa,求含sina土cosa的式了，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于(sina土cosa)?二1±2sinacos”，要进行开方运算才能求出sina士cosa二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题屮，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tga(或ctga)与含sina(或cos6^)的式子的互化屮，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5已知:tg^=3,求昱g叱的值。2sina+co

6、sa■分析：由于tga=Sma,带有分母cosa,因此，可把原式分子、分母各项除以cosa,"造出”tga,即托出底：cosa；cosa解：由于tga二3=>qhA7T+—=>COSGH02cosa故，原式二cw‘=2smo

7、cosa2fgo+l2x3+1cosacosa例6己知：ctga二-3,求sinacosa-cos%二?分析:由于eg二沁siner,故必将式子化成含有沁sincr的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin+(cosg)2l+ctg^asiner_-3+(-3)2_6~l+(-3)2"_5例7(95年全国成人高考理、工科数学试

8、卷)iS0

9、；0vyv彳，故sinxH0,sinyH0,(7+cos2a-及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sina,造出etga：解：sin2cif+cos2a-.2sintrcoscr