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1、专题训练(三)求二次函数的解析式—、已知三点求解析式1.已知：如图3-ZT-1,二次函数y=ax?+bx+c的图象经过A,B,C三点.求此抛物线的解析式.a—b+c=O,解：把点A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)代入y=ax?+bx+c,得“=一3,16a+4b+c=5.a=l,解得b=-2,.c=_3.所以此抛物线的解析式为y=x?—2x—3.1.［佛山中考］如图3—ZT—2①，已知抛物线y=ax?+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物
2、线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).解:c=3,，9a+3b+c=0,、16a+4b+c=3,a=l,解得＜b=-4,.c=3,图3-ZT-2(1)把点A(0,3),B(3,0),C(4,3)代入y=ax?+bx+c,得所以抛物线的解析式为y=x2—4x+3.(1)因为y=x?—4x+3=(x—2)2—1,所以拋物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴是直线x=2.(2)阴影部分的面积为2.二、已知顶点或对称轴
3、求解析式3.已知二次函数y=x?+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:X•••-1()1234•••y•••1052125•••则该二次函数的解析式为W.『答案］y=x2—4x+54.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0),求该二次函数的解析式.解：・・•二次函数图象的顶点为A(1,-4),・・・设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2—4,将点B(3,0)代入解析式，得a=l.故y=(x—1)2—4,即y=x2—2x—3.5.已知抛物线经过点A(1,0),
4、B(0,3),且对称轴是直线x=2,求该抛物线的解析式.解：•・•抛物线的对称轴是直线x=2且经过点A(1,0),二由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3,0).设抛物线的解析式为y=a(x—1)(x—3)(aHO).把点B(0,3)代入解析式，得3=3a,.*.a=l,・*.y=(x—1)(x—3),即该拋物线的解析式为y=x?—4x+3.6.［齐齐哈尔中考］如图3-ZT-3,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点，点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线
5、的解析式；(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.图3-ZT-3解：(1)J抛物线的顶点坐标为(1,4),・••设此抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,•・•抛物线过点B(0,3),3=a(0—1)$+4,解得a=—1,・・・y=—(x-1)2+4,即此抛物线的解析式为y=—x?+2x+3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0,-3),连接AE交x轴于点P.设直线AE的解析式为y=kx+b,k+b=4,b=—3,k=7,解得b=-3,・•・直线AE的解析式为y=7x—3.3.3当y=0时，x=〒，・
6、••点P的坐标为（宁，0）.三、已知抛物线与x轴的交点求解析式4.抛物线与x轴交于点（一1,0）和（3,0）,与y轴交于点（0,-3）,则此抛物线的解析式为（）A.y=x24-2x+3B.y=x2—2x—3C.y=x2—2x+3Dy=x'+2x—3l答案｝B&如图3-ZT-4,抛物线y=-x?+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1,0）,B（3,0）,则这条抛物线的解析式为W.［答案］y=-x2+4x-3图3-ZT-4图3-ZT-59.如图3-ZT-5,已知抛物线过A,B,C三点，点A的坐标为（一1,0）
7、，点B的坐标为（3,0）,且3AB=4OC,则抛物线的解析式为W.［答案］y=—x2+2x+3四、根据图形平移求解析式10.—个二次函数图象的形状与抛物线y=—2x2相同，顶点坐标为（2,1）,则这个函数的解析式为W.［答案］y=—2（X-2）2+1或y=2（X-2）2+1,即y=—2x?+8x—7或y=2x?—8x+9图3-ZT-611.把抛物线y=x?先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3—ZT-6所示的二次函数的图象.（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使AAB
8、P的面积为10,请直接写出点P的坐标.解：（1）此二次函数的解析式为丫=（x+1）2-4,即y=x2+2x-3.（2）・・•当y=0时，x2+2x-3=0,解得x（=-3,x2=l,/.A（1,0）,B（-3,0）,•IAB=4.设点P的坐标为(m,n).VAABP的面积为10,；.
9、aB-
10、n
11、=10,解得n=±5.当n=5时，m2+2m—3=5,解得m=—4或2,・••点P(-4,5)或(2,5)；当n=—5时，m，+2m
