二次函数一道题

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1、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3,0）,B（0,3）,C（1,0）.（1）求此抛物线的解析式.（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F,交肓线AB于点E,作PD丄AB于点D.①动点P在什么位置时,APDE的周长最大,求出此时P点的坐标;②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动，正方形的人小、位置也随Z改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标.（结果保超根号）（2）①根据点A、B的处标求出0A二0B,从而得到AA0B是等腰

2、直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ZBA0M50,然后求出APED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越人，APDE的周长最人，再判断出当与直线AB平行的胃线与抛物线只有一个交点时,PD最大，再求出直线AB的解析式为y二x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立消掉y,得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△二0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ丄对称轴于Q,根据同角的余角相等求出ZAPF=ZQPM,再利用“角角边”证明AAPF和AMPQ全等，根据全

3、等三角形对应边相等可得PF二PQ,设点P的横处标为n,表示111PQ的长，即PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出AAPF和厶人山）全等，根据全等三角形对应边和等可得PF二AQ,根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标.解：(1)J抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),I9a-3b+c二0Ic二3[a+b+c=0s二_]小二-2解得lc二3,所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；(2)①TA(-3,0),B(0,3),・・・0A二0B二3,•••△AOB是等腰

4、直角三角形,AZBA0=45°,TPF丄x轴，AZAEF=90°-45°二45。,又VPD1AB,•••△PDE是等腰直角三角形，・・・PD越大，APDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y二x卜3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,{y=x+iny=-x2-2x+3，消掉y得，x2+3x+m-3=0,当厶=32-4XlX(m-3)=0,213321_15即m「孑时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=-2,y=-2+T=T,315.••点P(-2,4)时，APDE的周长最大；_2②抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线x=-2X(一1)=-1,过点P作PQ丄对称

5、轴于Q,在正方形APMN屮，AP二PM,ZAPM二90°,AZAPF+ZFPM=90°,ZQPM+ZFPM二90°,ZAPF二ZQPM

6、点P的坐标为（2—,―2—）；（ii）如图2,点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与X轴交于点Q,VZPAF+ZFPA=90°,ZPAF+ZQAN二90°,:.ZFPA=ZQAN,乂VZPFA=ZAQN=90°,PA二AN,AAAPF^ANAQ,APF=AQ,设点P坐标为P(x,-x2-2x+3),则有-x2-2x+3=-1-(-3)=2,解得1（不介题意，舍去）或x=・VI-1,此时点P坐标为（■迈・1,2）.-1_1+VT7综上，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（2—,2）,当顶点N恰好落在抛物线对称轴上吋，点1）的处标为（■迈2）.