勾股定理全章复习和巩固(提高)知识讲解

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1、《勾股定理》全章复习与巩固（提高）责编：曾山【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股泄理及逆泄理解决有关的实际问题.【知识网络】角角形解决实际HK【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）2•勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）己知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算

2、；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1•勾股定理的逆定理如果三角形的三边长弘b、c,满足a2^b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证：°2+护与C?是否具有相等关系：若a2+^=c2f则AABC是以ZC为90。的直角三角形；若a2+b2>c2时，ZkABC是锐角三角形；若a2+b2

3、）,显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果（d、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以G、bt、cf为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a、b、c,且a

4、区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用▼1、如图所示，等腰直角AABC中，ZACB=90°,E、F为AB±两点（E左F右），且ZECF=45°,求证：AE2+BF2=EF2.【思路点拨】由于ZACB=90°,ZECF=45。，所以ZACE+ZBCF=45。，若将ZACE和ZBCF合在一起则为一特殊角45。，于是想到将AACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到AACE的左外侧合并，旋转后

5、的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.【答案与解析】解：（DAE'+bf?二£：尸2,理由如下：将ABCF绕点C旋转得ZkACF,使ABCF的BC与AC边重合，BIJaACF^ABCF,C在厶ABC中，ZACB=90°,AC=BC,ZCAF'=ZB=45。,・•・ZEAF=90°・ZECF=45°,・•・ZACE+ZBCF=45°.•・・ZACF'=ZBCF,・・・ZECF=45°.在AECF和ZkECF'中CE=CEZECF,=ZECF=45°CF=CF1:.ZkECF竺△ECF'(SAS),EF=EF'.在RuAEF中，AE2+

6、F%2=F'E2,A丘+BF=Ei.【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90。角内含45。角，120。角内含6()。角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,求证：BD1=AB24-BC2•A【答案】解：将AABD绕点D顺时针旋转60。.由于DC=AD,故点A转至点C.点B转至点E,连结BE.JBD=DE,ZBDE=60°・•・ABDE为等边三角形，BE=BD易证△DAB

7、MDCE,ZA=Z2,CE=AB•・•四边形ADCB中ZADC=60。，ZABC=30°・・・ZA+Z1=360°-60°-30°=270°・•・Z1+Z2=Z1+ZA=27O°・•・Z3=36O°-(Z1+Z2)=9O°BC2+CE2=BE2A・•・BC2+AB2=BD2如图，在AABC中，ZACB=9。。，AC=BC,P是AABC内的-点，且PB=1,PC=2,PA=3,求ZBPC的度数.【答案与解析】解：女口图，做ZECB二ZPCA,且使CE二CP,连结EP,EB在zAPC和ZkBEC中AC=BC

8、ABEC•••△PCE为等腰直角三角形AZCPE=45°,PE2=PC2+CE2=8又VPB2=1,BE2=9・•・PE24-PB2=B