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《立体几何专题3——平行与垂直答案解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节空间线面的平行与垂直关系【经典考题】1．(2010深圳调研)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，P为AC的中点．(1)求证：BC⊥A1B；(2)若AD＝，AB＝BC＝2，求三棱锥P－A1BC的体积．例1．(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，
2、∴BC⊥A1B.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥AB.∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B.在Rt△ABD中，AD＝，AB＝BC＝2，sin∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°.在Rt△ABA1中，AA1＝AB·tan60°＝2，由(1)知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2.∵P为AC的中点，S△BCP＝S△ABC＝1，∴VP－A1BC＝VA1－BCP＝S△BCP·A1A＝×1×2＝.2．（2012广东）如图5所示,在四棱锥中,平
3、面,∥,,是的中点,是上的点且,为中边上的高.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若,,,求三棱锥的体积;(Ⅲ)证明:平面.解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为为中边上的高,所以.,平面,平面,所以平面.10(Ⅱ),因为是的中点,平面,所以点到平面的距离等于,即三棱锥的高,于是.(Ⅲ)取中点,连接、.因为是的中点,所以且∥.而是上的点且,∥,所以且∥.所以四边形是平行四边形,所以∥.而,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面.3．（肇庆市2015调研改编）如图，已知PA^⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB
4、=2，C是⊙O上一点，且AC=BC=PA，E是PC的中点，F是PB的中点.（1）求证：EF//平面ABC；（2）求证：EF^平面PAC；（3）求三棱锥P—AFC的体积.证明：（1）在DPBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF//BC.（2分）又BCÌ平面ABC，EFË平面ABC，所以EF//平面ABC.（4分）（2）因为PA^平面ABC，BCÌ平面ABC，所以PA^BC.（5分）因为AB是⊙O的直径，所以BC^AC.（6分）又PA∩AC=A，所以BC^平面PAC.（7分）由（1）知EF//BC，所以EF^平面PAC
5、.（8分）（3）解：，由（2）知是棱锥的高.在RtDABC中，AB=2，AC=BC，所以.（9分）所以.（10分）10（12分）【重点突破】4．（2014·广东卷）如图12所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图13折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积． 图12 图13105、已知四棱柱的底面是边长为的菱形，，，点是棱的中点.（
6、I）求证：；（II）求点到平面的距离.6．圆锥如图1所示，图2是它的正(主)视图．已知圆的直径为，是圆周上异于、的一点，为的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求证：平面平面；(3)若,求三棱锥的体积.6．（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高，圆的直径为，故半径．∴圆锥的母线长，∴圆锥的侧面积．10（Ⅱ）证明：连接，∵，为的中点，∴．∵，，∴．又，∴．又，平面平面…8分(Ⅲ)，又,，.7、如图，四边形ABCD为矩形，，，ABCDEFG为上的点，且，G为AC的中点.⑴求证：；⑵求证：；⑶求三棱锥的体积.例1⑴证明：是中点则，而
7、∴是中点，在中，∴⑵，∴，则又，则∴⑶解：∴，而∴∴是中点∴是中点∴且∴∴中，∴∴108、如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求证：BC1∥平面CA1D；(3)求三棱锥B1－A1DC的体积．解(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.(2)连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE
8、，易知E是AC1的中点，又D是AB的中点，则DE∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，又BB1＝2，∴VB1－A1DC＝V
