医学信号处理参数估计

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1、第五章信号的参数估计提出问题：信号估计（Estimations）——从受噪声干扰的观测信号中估计信号参量和波形的问题，即参数估计问题。参量估计的目的：在有限个信号观测样值中，以最佳方式估计信号的参数。参数估计－被估计的量是随机变量（静态估计）波形估计－被估计的量是随机过程（动态估计）1§5－1、概述数理统计中由随机信号的一组样本估计信号的统计特征，如均值、方差、均方、相关函数、功率谱等，是一种简单而常见的参数估计。在数理统计中，均值、均方和方差的估计是按照定义，用有限个样本采用直接估计法来估计。这里的参数估计问题应为：从含有噪声的观察中估计信号的参数。2数学描述：设观察x=x1

2、,x2,...,xN为随机变量s的独立同分布的N个观测样值，x=s(a)+n，a为信号的参数，而f(x1,x2,...,xN)是用来估计参量a的观测样值函数（统计量），称：＝f(x1,x2,...,xN)为参量a的估计量。的均值即为E[]=E[f(x1,x2,...,xN)。要求通过一定的估计算法，使得为按某一判据的a的最优估计值，比如使得估计误差均方最小为最小均方误差估计。§5.1.13一、非线性估计——已知待估参数的先验概率p(a)和条件先验概率p(x

3、a)，依据某些最优判据，通过非线性数理统计算法估计参数；随机参量－其特性用概率密度来表征－贝叶斯估计非随机参量－仅为一般的

4、未知量－最大似然估计参数估计方法分为两类：框图表示为：估计算法∑判据最优估计x=s(a)+na§5.1.24非线性估计方法经典，计算复杂，估计质量较好，但是要求先验概率知识。二、线性估计——在估计参数a为观察值x的线性函数，基于最小均方误差准则进行估计。前提条件：估计必须是观察值x的线性函数。线性估计方法计算简便，只要求一、二阶统计知识，故先验知识要求低，估计质量较差，近年来发展较快。5估计准则1、估计偏差2、估计方差3、估计值的均方误差4、有效估计5、一致估计§5.1.3有关定义：6估计准则：无偏估计——如果待估计参数a和它的估计值的均值E()相等，即E()=a，就称为无偏估

5、计，否则称为有偏估计。估计偏差越小，则各次估计值的均值接近于真实值，但并不能保证每次估计值都接近于真实值，而且各次估计值可能分布很分散；而估计方差很小，表明估计值都接近于均值，即分布很集中，但并不能保证均值E()接近于真实值，也就是不能保证各个集中分布于真实值a附近。7一致估计——根据以上分析，将估计偏差和方差结合起来的综合量表示估计质量的好坏，即估计值的均方误差。如果随着样本数目的增加，估计的均方误差趋于0，即要求当N→+∞时，偏差和方差都趋于0，则称此估计为一致估计。有效估计——由某一种估计方法得出的估计值的方差小于其它任何估计方法得出的方差，则称该估计为有效估计。如果该估

6、计同时又是无偏的，则为均方误差最小的估计。8§5－2、非线性估计贝叶斯估计§5.2.1为双变量连续函数9(c)均匀代价函数这样C定义为单变量函数典型代价函数10贝叶斯判据：平均代价最小，即E(c)=min。由于c是的函数，而又是观察值x的函数，所以c就是x和s的联合函数，所以有：用后验概率函数表示为：，R称为条件风险函数。令贝叶斯判据实际为以R最小作为判据。11情况(a)平方误差情况下，风险函数最小的估计量称为最小均方估计(minimummeansquareestimation)其风险函数为：由于则风险函数为：∵p(x)≥0故MS最小即等效为上式括号[]内项最小12由于故此最小

7、均方误差估计，表示已知x时，s的条件均值。13情况(b)绝对值误差情况下，风险函数为：上式括号[]内项为：于是，可令上式对的导数为零，则有：ABS估计应取在后验概率密度函数面积的平分线上，即等于后验概率密度函数的中值。14情况(c)均匀估计代价函数[]号中的后面一项为：当此式最大，即p(s

8、x)最大时，平均代价最小。此时称为最大后验估值(MaximumaPosteriori)采用对数函数，15最后，将三种情况估计式中后验概率密度函数借助于贝叶斯公式用先验概率代替得到：ABS估计为MAP估计为MS估计为16(MaximumLikelihoodEstimation--MLE)此式为

9、必要条件，而不是充分条件。极大似然估计§5.2.2由于：似然函数就是先验概率密度函数，极大似然估计准则就是使得似然函数最大的s值。实际中常用对数似然函数17多次观察§5.2.3把各式中的变量x换成矢量X=[x1,x2,…,xM]，即可扩展为多次观察情况。极大后验概率估计为最小均方误差估计为极大似然估计为1819如果要估ABS、MAP、MS，还需要已知p(s)。20实例§5.2.4例1、M次观察xi=s+ni(i=1,2,…,M)，s为待估计的随机变量，做正态分布N，ni为正态分布N，且独立同