数学专业考研各名校高等代数经典题型

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1、云大2002年1．无解当且仅当存在向量，使，分析：要使，即要使，，就要使也就是线性方程组要有解证明：设无解线性方程组有解向量使向量，，，即，2．设是（维）欧氏空间的一个变换，若它不改变向量的距离，且将零向量变为零向量，则它是正交变换。若将零向量变为零向量舍去，则结果是否成立？证明：∵不改变向量的距离，且将零向量变为零向量∴，同理∵∴∵是欧氏空间的保持内积不变的变换∴是的线性变换，从而是的正交变换因为线性变换必将零向量变为零向量，若将零向量变为零向量舍去，则结果不成立。192004年1．设为数域上的维线性空间，是上的线性变换，且在上有个互不相

2、同的特征值。若，则线性无关的充要条件是，其中是的对应于特征值的特征向量，证明：∵在上有个互不相同的特征值∴，，∵∴，若线性无关，则是的对应于特征值的特征向量，反之若是的对应于特征值的特征向量，∵是的个互不相同的特征值∴线性无关综上所述，若，，，则线性无关是的对应于特征值的特征向量，∵，，，…，∴，其中∵∴线性无关19，，，线性无关，是的对应于特征值的特征向量，2．设是阶半正定矩阵，求证：对任意正实数，正定。证明：显然是实对称矩阵，∵是阶半正定矩阵∴∵是正实数∴∵∴正定2005年1．设元实二次型有，，求证：，使。证明：∵有，∴的正、负惯性指数

3、和都至少是1设经非退化线性变换（）化为规范形：取代人，得2．设是4维线性空间的一组基，的线性变换19在这组基下的矩阵（1）求在基，，，下的矩阵；（2）求的值域及核；（3）若的核，问是否可逆，为什么？解：（1）∵∴在基，，，下的矩阵（2）∵∴是的基，∵∴，设在基下的坐标为，则的坐标为∵19∴，解得是的基，即（3）若的核，则是单射∵有限维线性空间的线性变换为单射的充要条件是它为满射∴是可逆3．设（Ⅰ）：；（Ⅱ）：；（Ⅲ）：；（Ⅳ）：。若秩（Ⅰ）秩（Ⅱ）3，秩（Ⅲ）4，求证：秩（Ⅳ）4证明：∵秩（Ⅰ）秩（Ⅱ）3，秩（Ⅲ）4∴线性无关，线性无关，线

4、性相关可由线性表示，设设即∵线性无关∴故线性无关，秩（Ⅳ）44．设是阶方阵，求证：（1）的特征根全是零的充分必要条件是存在自然数，使；（2）若，则（1）证明：存在正整数，使是幂零矩阵的最小多项式，的特征根全是零19（2）若，则由（1）的特征根全是零的标准形是主对角线上的元素全为零的三角形矩阵∵∴5．设，，，为实二次型，若正定，求证：在中无解正定或负定证明：“”假设在中有解，则，使∵，∴，与正定或负定矛盾故在中无解“”∵正定正定∴实可逆矩阵，使，同时成立作非退化线性变换，与同时化为标准形：，令，则的标准形为：假设有，，则，取，19得，与在中无

5、解矛盾∴，假设，，…，中有正有负，不妨设，，则取，，得，且，使与在中无解矛盾∴，，…，全为正或全为负正定或负定即正定或负定2006年1．，求（1）的最小多项式；（2）的标准形。19解：（1）∵，∴的最小多项式（2）∵的最后一个不变因子∴，的初等因子为：，，的标准形2．设，分别为次和次多项式，。求证：与不互素次数的多项式和次数的多项式，使证明：“”假设与互素∵次数的多项式和次数的多项式，使∴∵与互素∴∵的次数小于，为次多项式19∴矛盾，故与不互素“”设，，∵与不互素∴的次数大于0的次数小于，的次数小于3．设，其中为阶正定矩阵，为维实的列向量，

6、为实数。求证：正定证明：∵正定∴可逆取实可逆矩阵，则其中为一个实数∵与合同，正定∴正定正定正定4．设为阶实对称矩阵，且的对角线上的元素之和等于正整数，求的最大值。解：∵为实对称矩阵，的特征值全为实数∴的特征值也全为实数∵∴，的最大值195．、为阶矩阵，、、皆可逆，求证：、都可逆，且证明：∵，皆可逆，皆可逆∴也可逆，且∴可逆，且2007年1．三阶矩阵的特征值为1、2、4，。2．若，则。∵∴3．阶矩阵满足，求证：，为正整数。（用数学归纳法即可证得）4．用正交变换将实二次型化为标准形。（用的矩阵的三个线性无关的特征向量正交化单位化后排成的矩阵即为

7、正交矩阵，所求正交变换为）5．设（）是的基础解系，，，…，，，，为实数。，满足什么条件时，也是的基础解系？解：∵是的基础解系，是的线性组合∴的基础解系含个向量，而是的个解19要使也是的基础解系，只要线性无关即可∵，线性无关∴线性无关6．设是实数域上的所有次数不超过3的多项式和零多项式构成的线性空间。，除以所得的商和余式分别为与。设是的变换：，（1）求证：为的线性变换；（2）求在基下的矩阵。（1）证明：，设，或，或则；∵或；或∴或；或故除以所得的商和余式分别为与19除以所得的商和余式分别为与∵∴为的线性变换（2）∵，，，∴，，，∵∴在基下的矩

8、阵6．设、为维线性空间的线性变换，有个互不相同的特征值。求证：的特征向量是的特征向量。证明：证明：∵有个互不相同的特征值∴…，其中、、…、是的个互不相同的特征值“”∵∴是的一维不