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1、2.3.2《抛物线的简单几何性质》教学目标知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出
2、发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质y﹒xo复习结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.XY(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
3、PF
4、=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐
5、近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方
6、程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线
7、相切．证明：如图．所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且
8、AB
9、=4,求直线AB的方程.y2=8xX=3例3.过抛物线
10、焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。xyOFABD小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;图形标准方程范围对称性顶点离心率关于x轴对称，无对称中心关于x轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心e=1e=1e=1e=1分析:直线与抛物线有一个公共点
11、的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离分析:直线与抛物线有两个公共点时△>0分析:直线与抛物线没有公共点时△<0注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情
