命题与充要条件

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1、第二讲命题与充要条件【学习目标】1.掌握和理解命题与推出关系；2.掌握四种命题的构成及其内在关系；3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及其判断方法，并会证明简单的充要命题.1．命题(proposition):可以判断真假的语句2、推出关系：一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。3、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作，叫做α与β等价4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒

2、γ5.四种命题的形式及其之间的关系：原命题：逆命题：否命题：逆否命题：互否原命题逆命题否命题逆否命题互否互逆互逆逆逆否否并在四种命题之间的相互关系如下：6.等价命题：如果,是两个命题，，那么,叫做等价命题。（1）①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：①若，则应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.7.充分必要条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成

3、立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件（SufficientCondition）。β叫做α的必要条件（NecessaryCondition）。经常可以分成以下四种情况：（1）α是β的充分不必要条件，即α⇒β,而β⇏α;(2)α是β的必要不充分条件，即α⇏β,而β⇒α;(3)α是β的既充分又必要条件，即α⇒β，又有β⇒α;(4)α是β的既不充分也不必要条件，即α⇏β，又有β⇏α。②.解：逆否：x+y=3x=1或y=2.,故是的既不充分，又不必要条件.8.集合与推出关系：设，，则“”与“”等价小范围推

4、出大范围；大范围推不出小范围.例：若或.【经典例题】例1用符号“”或“”将下列各小题中的A与B联系起来：（1）A：，B：；（2）A：，B：；（3）A：四边形的对角和为180º，B：四边形内接于圆；（4）A：实数、满足且，B：实数、满足且.例2（1）判断命题：“若是不全相等的实数，则”的真假；（2）写出（1）中命题的逆命题，否命题和逆否命题.例3（2003年上海高考题）a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N

5、，那么“”是“M=N”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件[演变]设={x，y，z}，={m，n，k}，且，均为非零向量，则“”是“∥”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件[专题训练]1．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_________.2．写出“函数的图像与轴有两个交点且分布在原点的两侧”的充要条件是_________

6、____.3．定理“内接于圆的四边形对角互补”的逆定理是_________________.4．如果否命题为“已知、，若，则或”，则相应的原命题是____________________________________.5．命题“、都是奇数，则是偶数”的逆否命题是.6．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数可以是______.7．已知数列的前项和,使数列是等比数列的充要条件是_______________.8．函数在区间[1,+∞)上为增函数,则实数的取值范围为_____

7、____.9．方程至少有一个负数根的充分非必要条件是____________.10．设不等式的解集为，若，则实数的取值范围为_____________.11．设ABC的三边分别为、、，在命题“若,则ABC不是直角三角形”及其逆命题中有（）（A）原命题真（B）逆命题真（C）两命题都真（D）两命题都假12．如果、、都是实数，那么P：，是q：关于的方程有一个正根和一个负根的（）（A）必要不充分条件（B）充要条件（C）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件13．设表示命题“若则”，试问下列命题中，哪些

8、是彼此等价的（）①的逆否命题的逆命题；②的逆命题的否命题；③的否命题的逆否命题；④的逆否命题的逆否命题；⑤的逆命题的逆否命题的否命题；⑥的否命题的逆命题的否命题.（A）②④⑥彼此等价，①③⑤彼此等价（B）①②④彼此不等价，③⑤⑥彼此等价（C）①③⑥彼此等价，②④⑤彼此等价（D）②⑤⑥彼此等价，①③④彼此等价14．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是；②的必要条件是；③A不是B的真子集的充分条件是；④的充要条件是；其中真命题的序号是（）（A）③④（B）①②（C）①