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《问题11.2数学归纳法在证明不等式中的应用-2017届高三数学跨越一本线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学归纳法是用來证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要是用來探讨与正整数有关的一系列数学问题，英过程基本要分两个步骤：第-步是验证当取第-个初始值4)吋所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n=k时不等式能够成立，以此来证明当n=k+时所要证明的不等式是否成立，如果第一步和第二步都能成立，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于勺的正整数不等式成立.新课标中提出着重考查学生的探索和归纳能力,利用数学归纳法证明不等式，在近儿年各地的高考和模考试题中己成为一个新的热点和亮点,并且基本上都以主观题的方式出现，大多数出现在最后三道大题中.因此，高考中我们想
2、要得高分就要将它当成必须掌握的问题.一、证明与正整数相关的不等式在有关自然数的不等式证明问题中，常常对以考虑用数学归纳法进行处理，这也是数学归纳法最为主要的应用之一，其主要步骤有两步：(1)证明当n=(第一个自然数)时不等式成立；(2)假设不等式当时〃(k>n.)时成立，证明n=k+l时不等式也成立；由(1)、(2)对于n>n^的一切自然数，不等式都成立.【例1】(2014・陕西高考)设函数f(0=ln(l+;v),g3=M3,心0,其中L3是代力的导函数.(1)令gi(0=g(力，丽M(x)=g(gO),用N卜，求g„{x)的表达式;⑵若/'(%)2恒成立，求实数a的取值范围
3、；⑶设z?WN+,比较g(l)+g(2)Tg(n)与n—Az?)的大小，并加以证明.【分析】(1)利用求导公式及归纳推理得出刃匕)的表达式，然后用数学归纳法证明，证明的关键是当n=k时,结论成立，证得刀=£+1吋，结论也成立.(2)构造函数将恒成立问题转化为函数的导数问题解决.(3)利用(2)的结论用数学归纳法证明.V【解析】由题设得,g(Q(^0).x]■
4、xxxx(1)由已知，&(方==，疑(方=glgCv))==]+裁和(方=]+•3疋…，可得刃(力=[+刃”1+1+^下面用数学归纳法证明.①当1时sgi(x)=］+F结论成AZ・②假设尸比时结论成立，即纵(力=占・1+
5、AX1+q3那么当庐比+1时，君ML(x)=g(蟲(X))1+jrjrV上竺-==7^不一「即结论成立・X1+（比+1）X1+］+肚由①②可知，结论对门€M■成立.⑵已知f(x)2ag3恒成立，即ln(l+x)2〔十J11成立.设03=1il(1+j)—肓二(心0・),rI,,、1ax+—a则"3=TTT(i+q尸(i+o2,当曰Wl时，0’3M0(当且仅当x=0,3=1时等号成立),0(方在［0,+°°)上单调递增.又e(o)=o,/.0(方鼻0在［o,+8)上恒成立，・••自W1时，In(1+0M芒冷亘成立(当且仅当尸0时等号成立).1+%当白>1时，对/丘(0,白一1］
6、有(^)<0,0(0在(0,日一1］上单调递减，・・・。(臼一1)〈0(0)=0,即自>1时，存在Q0,使。(0〈0,故知ln(l+方M十土不恒成立，综上可知,$的取值范围是(一8,1］.⑶由题意知g(l)+g(2)Hg3=#+#刀—f'3=/?—ln(/?+l),所以g(l)+g(2)F^•(z7)>/2—ln(z?+l)・证明如下：上述不等式等价于*+£士y〈ln(/?+l),V在⑵中取日=1,可得1门(1+劝〉書7；,Q0.人1.1/?+1令X=-,/7GbU」!g—^7〈ln.n/?十1n下而用数学归纳法证明：①当n=l时2,结论成立.②假设当n=k时结论成立，即*+*
7、土y〈ln（斤+1）.那么，当n=k+l时，*+£计7+#^〈山（殳+1）+#^〈ln（W+l）+lnj^y=ln（/r+2）,即结论成立.由①②可知，结论对z?eN..成立.【点评】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题（1）当遇到与正整数〃有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法等证明••运用放缩法时,要注意放缩的“度”.【小试牛刀】设f（n）=n+g®=（卄1）：用N*.⑴当z?=l,2,3,4时,试比较
8、f（z?）与g（z?）的大小;（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.二、证明与数列相关的不等式数列可以看作一个定义域为自然数集"（或它的有限子集｛1,2,3,•••,/!｝）的函数当自变量从小到大依次収值时对应的一列函数值.用数学归纳法证明关于数列的不等式是一种顺理成章的思路和方法.在历年的高考数列试题中大都会设置一问用数学归纳法证明某个结论或不等式问题，往往是先计算前几项,再变形（可拆可补），进而猜想结论，最后用数学归纳法证明，此即“观察一一归纳一一猜想-一证明”很常见的问
