勾股定理经典题目及答案资料

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1、勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c23．为了计算方

2、便，要熟记几组勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③5、12、13；④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳

3、是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。②如果k是大于1的奇数，那么k,,是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数，那么k,,是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。典型例题分析例1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____7　依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、

4、S3、S4的边长为a、b、c、d　　则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2　　S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4例2已知线段a，求作线段a分析一：a＝＝∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：a＝∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例3如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这

5、三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)分析：　　(1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。　　　　所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3　　(2)类似于(1)：S1+S2=S3　　(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3　　∴S阴影=S△ABC7例4.如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

6、三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。　　分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即　　S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴　　所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴　　从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)　　∴最大的正方形的边长为13cm　　例5图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9　　(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b

7、且a>b，　　则　　将正方形EFGH的边长三等分，使　　顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。二、要学会用方程观点解题例6.已知：如图7，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。　　分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。　　由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。　　设AF=x，则FC=x，BF=4-x　　只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程

8、　　x2-(4-x)2=9，问题就可以解决例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a