大数定律、中心极限定理

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1、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理统称为极限定理。它们是概率论与数理统计的理论依据，在理论研究及应用上有着重要作用。大数定律随机事件在大量的重复试验中出现的频率呈现出稳定性；大量测量值的算术平均值也具有稳定性，等等。大数定律描述的正是这种现象。切比雪夫不等式——设随机变量X具有有限的数学期望E（X）和方差D（X），则对任意正数，有不等式：作理论推导；对X的分布作粗略估计。例1设电流是随机变量，已知（1）用切贝雪夫不等式估计概率：（2）若求（1）中的概率。（3）若求（1）中的概率。解：（1）由切贝雪夫不等

2、式，有（2）例1设电流是随机变量，已知（1）用切贝雪夫不等式估计概率：（2）若求（1）中的概率。（3）若求（1）中的概率。解：（1）由切贝雪夫不等式，有（3）切比雪夫大数定律——设是相互独立的随机变量，且每一随机变量都有有限的方差，且有公共上界，则对任意正数都有：这个定律描述了大量测量值的算术平均值的稳定性。推论——设是相互独立的随机变量，且每一则对任意正数都有：随机变量都服从同一分布且有共同的数学期望与方差，推论——设是相互独立的随机变量，且每一则对任意正数都有：随机变量都服从同一分布且有共同的数学期望与方差，

3、解决实际问题时，如果我们不了解随机变量X的具体的分布情况而又要知道它的平均水平，我们可对它作足够多的测试（即找出足够多的样本点），用测量值的算术平均值来估计X的数学期望。贝努利大数定律——设是次相互独立试验中事件A出现的次数，是A在每次试验中发生的概率，则对于任意，恒有：这个定律描述了大量试验中随机变量的频率具有稳定性。解决实际问题时，我们可作足够多次的试验，用事件A出现的频率来估计A的概率。这正是概率的统计定义的理论依据。中心极限定理如果某个随机现象是由许多微小的，相互之间没有什么依存关系的随机因素共同作用（叠

4、加）的结果，则它的极限分布是正态分布，中心极限定理描述的正是这种现象。独立同分布的中心极限定理——设相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差：则随机变量的分布函数对任意，满足：即当足够大时，有：当足够大时，有：例2一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立，且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解：设表第部分的长度。则相互独立且具有同一分布。故近似地，部件总长度产品合格的概率棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理——设则对于

5、任一实数，有即当足够大时，有：例3种子中良种占1/6，我们有99%的把握断定在6000粒种子中良种所占比例与1/6之差是多少？这时相应的良种数目落在什么范围。近似地，有解：设表示6000粒种子中良种数目，则设当足够大时，有：即查表得：这时相应的良种数目落在的范围约是：也即再见！