高一1.1.2 弧度制

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1、1.1.2弧度制（教材第4页）例1．在0°~360°范围内，找出与－950°12'角终边相同的角,判断它是第几象限角．∴在0°~360°范围内，与－950°12'终边相同的角为129°48'角，它是第二象限角.解：说明：在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的为1度的角.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.在数学和其他科学研究中还经常用到另一种

2、度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？一、复习角度制二、弧度制定义我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，若弧AB的长等于半径r,则∠AOB=1rad.演示课件若弧AB的长等于2r,则∠AOB=2rad.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad.问题1：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？答：若弧是一个半圆，则弧长所以圆心角的弧度数是若弧是一个整圆，则弧长所以圆心角的弧度数是由此可知，任一0º~360º的角的弧度数弧概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0.必然适合不等式0x<2π.例如，

3、若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧长为4πr，则角的概念推广后，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.那么角α的弧度数的绝对值是如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，这里α的正负由α终边旋转方向决定.弧长公式：注意:用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.问题2：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？演示课件上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α的大小来确定，与

4、所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．三、角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，因此（1）把67°30′化成弧度.（2）把—π弧度化成度.53例1解：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但用“度”或“°”为单位不能省.（2）用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式.注意：角度弧度例2.写出下列特殊角的度数或弧度数：说明

5、：扇形面积公式还可以表示为例4.（1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？解：OABHAB边上的高例4.（1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？6.弧度数为1.2.教材第9页练习：课后作业1.教材第10页习题1.16~10及B组1~32.完成教辅练习册第2页1.1.23.预习教材第11页~15页练习1.如图，用弧度制表示下列终边落

6、在阴影部分的角的集合（不包括边界）．分析：首先找出阴影图形的边界表示的角，然后再选择适当的角的形式表示阴影部分．若两部分阴影区域能合并尽量合并．练习2.已知扇形的面积是4cm2，它的周长是8cm，求它的中心角和弦的长．解：设扇形的弧长为l，半径为r，则所以中心角为弦长为ABO练习3.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数。练习4.已知α是第二象限角.（1）指出所在的象限，并用图形表示其变化范围.（2）若α同时满足条件

7、α+2

8、≤4,求α的取值区间.解：由题意得，（1）∴是第一象限或第三象限的角.（2）∵

9、α+2

10、≤4,∴－6≤α≤2,又α是第二

11、象限角，故α的取值区间教材第6页表1.1-1AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数逆时针方向顺时针方向逆时针方向顺时针方向顺时针方向OA，OB重合逆时针方向逆时针方向（