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《已知数列递推求通项的方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列已知递推求通项的方法一.公式法例1已知数列｛色｝满足如=2色+3x2",^=2,求数列｛色｝的通项公式。解：色+严2陽+3><2〃两边除以曾，得斜号+斗则為号弓故数列铮｝是以21_23a3二兰=1为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得亠=1+（〃-1）?，所以数222"231列a｝的通项公式为a”=(-n--)2no评注：本题解题的关键是把递推关系式a曲=2a”+3x2"转化为堀-*=说明数列｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出^=1+（72-1）-,进而求出数列｛匕｝的通项公式。22二、累加法例2已知数列｛%｝满足an+i=an4-2n+1,q
2、=l,求数列｛%｝的通项公式。解:由%+1=色+2m+1得%+]—an=2n+l则%=(Q“一a”_i)+(a”-i一。“一2)+…+(色一。2)+(。2一4)+®=[2(〃—l)+l]+[2O—2)+l]+・・・+(2x2+l)+(2xl+l)+l=2[5—1)+0?—2)+・・・+2+1]+(川一1)+1=2(^+2=(n-l)(n+1)+1所以数列［an｝的通项公式为an=n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式£严色+2〃+1转化为an+l-at）=2n+lf进而求出（色-％）+（勺一1一色-2）+…+（°3一°2）+@2一坷）+勺，即得数列｛%｝的通项公式。例3已知数列
3、｛%｝满足a曲=g”+2x3”+1,®=3,求数列｛色｝的通项公式。解:由a”产％+2x3〃+1得a曲一％=2x3”+1则a“=(d“—d“_])+(Q“_]一d”_2)+…+(。3-。2)+(。2-。1)+。1=(2x3w_1+1)+(2x3n~2+1)+•••+(2x32+1)+(2X31+1)+3=2(3”t+3"-2+...+32+3J+5—1)+3(_i)+31-3=3"—3+〃—1+3=3"+n—1所以％=3”+斤一i.评注：本题解题的关键是把递推关系式％+
4、=©+2x3"+l转化为％+
5、-a”=2x3“+l,进而求出Cin=（an-an^）十（％_1一£-2）+…+
6、（。3一。2）+（。2一勺）十，即得数列｛%｝的通项公式。三、累乘法例4已知数列｛色｝满足an+l=2（n+l）5nxan,a,=3,求数列｛色｝的通项公式。解:因为〜+]=2（〃+1）5"xa“，®=3,所以％工0,则沁=2（〃+1）亍，故。3a2八色一2。24'二[2(川-1+1)5心][2(/?-2+1)5-2][2(2+1)x52][2(H-1)x5,]x3=2f(〃一1)3x21x5(n—1)+(n—2)+*••+2+1x3=3x2n_,x52xn!"（川一1）所以数列｛an｝的通项公式为67,,=3><2心><5=><斤!.评注：本题解题的关键是把递推关系勺+
7、=2（
8、〃+1）5"x色转化为纽=25+1）5",进而求出an-an-2…•幺•幺5,即得数列a」的通项公式。a2a｝例5已知数列｛%｝满足a｛=Lan=a｛^2a2+3a3+-^+(n-1)^^(n>2),求｛a」的通项公式。解：因为an=a,+2a2+3a34-•••+(n-l)an-1(n>2)①所以a卄i—Q]+2a2+3a3H(/?—I)%-+用②式一①式得an+i-an=nan.则％+i=(n+lX(n>2)故勺乜=n+1(h>2)Jnnnn所以a=—-=[t?(h-1)4x3]«2=—a2.③匕-i匕-2a2一2由an=a】+2a2+3a3T(n-1)^_,(n>2),取
9、n=2得a?=再+2a2,则a2=ax,乂知舛=1,yi!则a2=1,代入③得a-1-3-4-5n=—□所以，｛%｝的通项公式为an=—.2评注：本题解题的关键是把递推关系式匕+]=("+1)色5»2)转化为^=n+l(n>2),进而求出丄•丛••…鱼•禺，从而可得当时，色的表达式，最后再求出数列｛%｝的通项公式。色-】山一2勺四、待定系数法例6已知数列他｝满足an+l=2an+3x亍，q=6,求数列｛色｝的通项公式。解:设。曲+尢x5/,+1=2(色+兀x5“)④将%]=2色+3x5"代入④式，得2an+3x5n+xx5n+1=2a„+2xx5n,等式两边消去2色,得3•5"+
10、q5,,+1=2x-5两边除以5",得3+5x=2x,则兀=-1,代入④式得①屮一5/,+1=2(%-5”)⑤Z7_亍+1由6/,-5'=6-5=1^0^m^^-5^0，贝IJ~=2,则数列｛an-5n｝是以6/,-5'=1为an~5首项,以2为公比的等比数列,则色一5"=2心，故%=2”t+5”。评注：本题解题的关键是把递推关系式％+严2色+3x5"转化为-5刊=2(色-5"),从而可知数列⑺“-亍｝是等比数列，进而求出数列｛色-5“｝的通项公式，最后再求出数列｛色｝的通项公
