概率论与数理统计-第一章

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1、§1.2随机事件的概率1.频率与概率2.古典概型3.几何概率4.概率的公理化定义1就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件是不够的，更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述。2对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大，找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。定义:随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为事件A发生的概率，记作P(A).3定义:在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数m次，m

2、称为事件A发生的频数。比值m/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)1.频率与概率4频率具有下述性质:（1）0≤fn(A)≤1;（2）fn(Ω)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件，则5我们知道，频率fn(A)越大（或小），事件A发生的可能性就越大（或小），即A的概率就越大（或小）。可见，频率是概率的一个很好反映。但是，频率却不能因此作为概率，因为概率应当是一个确定的量，不应象频率那样随试验次数的变化而变化。6即使这样，频率还是可以作为概率的一个估计，而且是一个有客观依据的估计，这个依据就是所谓的频率稳定性：当试验

3、或观察次数n较大时，事件A发生的频率会在某个确定的常数p附近摆动，并渐趋稳定。这是人们通过长期研究和观察总结得出的结果，在一定程度上揭示了事件发生的统计规律性.7历史上抛掷匀质硬币的若干结果试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998例8频率的稳定性说明随机事件出现的可能性大小是事件本身固有的一种客观属性，因而可以度量它，我们用频率的稳定值作为事件发生可能

4、性大小的度量指标。9在大量重复试验中，如果事件A发生的频率fn(A)稳定地在某一数值p的附近摆动，则称p为随机事件A发生的概率，记作P(A)＝p概率的统计定义10概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法:当试验次数n较大时有:事件A发生的概率事件A发生的频率11即当试验次数n充分大时，就常把事件A的频率作为事件A的概率的“近似值”（或“估值”）．比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死亡率等等，都是频率。优点：直观，易懂缺点：建立在经验基础上语言描述模糊，不准确需要大量的试验观测统计，可操作性较差12通过大量的重复试验，用频率来估

5、计事件的概率，虽然提供了近似计算事件概率的一般方法，但繁琐又不经济，有时甚至是行不通的。而对于一些特殊的随机试验，概率可用较简单的方法求得，下面介绍最早出现的一类概率问题．2.古典概型13在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验:(1)试验的样本空间中的样本点只有有限个，即基本事件的总数有限（有限性）;(2)在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同（等可能性）.具有以上两个特点的随机试验称为古典概型1415设试验结果共由n个基本事件组成，并且这些事件发生的可能性相同，而事件A由其中的m个基本事件组成，则事件A发生的概率

6、是:概率的古典定义16例:抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的点数是不小于3的偶数的概率.解设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”，即m=2，故17例１：盒中装有3个白球，2个黑球，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？解从盒中任取一个球，由于是“任取”，故5个球被取到的机会一样，即每一个基本事件发生的可能性相等．则该试验的基本事件总数n=5．设A={取到的是白球}，则A包含的基本事件个数m=3，于是由古典概率的计算公式，有18例２：有100件商品，其中97件是合

7、格品，从中任取2件进行检验，求：（1）两件都是次品的概率；（2）一件是次品，一件是正品的概率．解从100件中任取两件，共有个不同的取法，每种取法看成一个基本事件，而且每一个结果发生的可能性大小相等，则基本事件总数为n=（1）设A={取出的两件产品都是次品}，则事件A所包含的基本事件个数为m=19于是，由古典概率的计算公式有:(2)设B={取出的两件产品一件是次品，一件是正品}，则事件B所包含的基本事件个数为m=于是,由古典概率的计算公式20例３：有100件商品，其中97件是合格品．现有放回地一件一件地取，共取2件进行检验，求：（1）两

8、件都是次品的概率；（2）一件是次品，一件是正品的概率．解（1）从100件中一件一件有放回地取，第一次有100种不同的取法，第二次也有100种不同的取法，根据乘法原理，基本事件总数为n=1002。设A={取出的两件产品都是