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1、中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值作者：何忆捷/熊斌作者简介：何忆捷（1985-），男，上海人，华东师范大学数学科学学院讲师，上海市核心数学与实践重点实验室，博士，主要从事数学方法论与数学竞赛及数学资优教育研究；熊斌，华东师范大学数学科学学院，上海市核心数学与实践重点实验室（上海200241）・原文出处：《数学教育学报》（津）2018年第20182期第50-53页内容提要：在屮学数学范围内，构造法是一种较为常见、富有特点的解题方法，其非常规性与创造性的思维特点受到一定的认同•构造法解题的4类思维模式包括：考
2、虑特殊情形、联想与关联、命题转换和间接构造•在中学数学教育中融入构造法解题，具备一定的基础•将构造法解题渗透于教学实践中,有拓宽思维、培养创造力的特殊意义和教育价值.期刊名称：《高中数学教与学》复印期号：2018年09期关键词:构造法/解题/思维模式标题注释:【基金项目】上海市核心数学与实践重点实验室数学实践课题一一高屮数学资优生培养的行动研究（18dz2271000）.在数学上，构造法是指按固定的方式经有限个步骤能够实现的，用来定义概念或证明命题的方法⑴构造法由来已久在中国古代，以秦汉时期《九章算术》与1晋时期
3、《刘徽注》为代表的中国传统数学,在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为特色的算法体系[2门9世纪末，数学基础的直觉学派提出构造性数学,并将构造法推向极致•直觉主义制区克罗尼克主张没有能行性就不得承认它的存在性，布劳威尔更贯彻和发展了"存在必须被构造"的观点[1].直觉主义者对于要确立其存在的那个对象要求一个构造性定义，"这个构造性定义必须由有限个步骤可以确定到任何需要的精确度〃[3].在中学数学范内,构造法是一种较为常见、富有特点的解题方法•一般认为,构造法解题大致可归结为〃构造法作为
4、辅助手段〃及"存在性命题的构造证明"这两方面[4].例如，构造函数证明不等式，构造解析几何模型求参数的范围等，属于前一方面，这时构造是一种使问题得以转化的辅助手段，并不是解决问题的目的；而直接列举出满足条件的数学对象或反例，导致结论的肯定与否定，则属于后一方面.需要指出的是，在一些问题中，要求给出满足条件的所有数学对象，或是满足条件的某种最优结果,隐含地需要对一部分情况予以证明,对另一部分情况予以否定,这些问题也常常涉及实例或反例的构造.这里在中学数学范围内探讨构造法解题的思维特点、思维模式及教育价值.一、构造法
5、解题的思维特点许多国内数学教育者论述了构造法解题的思维特点.王延文（1993）认为，构造法解题的实质是根据数学问题的条件或结论的特征，用条件中的元素为〃原件"，用已知数学关系为〃支架"，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决，其思维方式上常常表现出简洁、明快、精巧等特点,常使数学解题突破常规,另辟蹊径⑸.邵光华(2009)认为，构造法不同于常规的一步步寻求必要条件直至推导出结论的逻辑思维方法,属于非常规思维,没有完全固定的模式可以套用,具有鲜明的创造性；反例构建是猜想、试验、
6、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动[1].周春荔(2012)认为，构造是思维中综合过程的一种最高级的表现形式和结果[6].尽管国外的数学教育研究几乎不涉及〃构造法"这一术语，但亦有支持上述观点的论述例如,Chamberlin与Moon(2005)认为，构造模型可引发创造行为和更高层次的思考，尤其是在综合的水平上，其中，模型是指由元素、元素间的关系、描述元素相互作用的操作以及适用于这些关系与操作的模式或规则所构成的系统[7].Mednick(1962)将创造性思维过程定义为〃由关联元素形成新的组合，这些组合符合
7、特定要求，或在某种意义上是有用的"，并认为新组合中的元素之间关系越远，代表形成新组合的思维过程或解答越有创造性[8].实际上，这些来自不同角度的论述与构造法解题有许多一致的成分.总体而言,构造法解题的非常规性与创造性的思维特点,受到一定的认同.二、构造法解题的若干思维模式在20世纪中期，美籍匈牙利数学家波利亚的论著《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》构成了数学解题领域的奠基性工作[9J2],其中，《数学的发现》对双轨迹模式、笛卡尔模式、叠加模式、递归模式作了详细的讨论[12],这些可以视为数学解题的典型有用的
8、思维模式.在构造法解题这一具体领域，余红兵、严镇军（2001）所著《构造法解题》作为一本专门向中学生介绍构造法解题的小册子,通过分析具体的问题,谈到了一些解决构造问题的思考线索，例如,"观察分析问题中的数量关系,并据此构造适当的辅助图形"；"从问题中某些简单、特殊的情况着手……由此常可能诱导出所需的构造"；"在证明符合要求的事物有无穷个时，舍多求少的想法尤能派上用场"；〃
