高一衔接分解因式

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1、(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a-^bXa-b)=a—a*'+2x~—x；-b2；(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab^-b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(d+b)(cr—cib+)=a'+戻；(a-b)(a~+cib+b~)=a'—b'；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；(a+b)3=R+3a2b+3ab2+b'；(a—=a'—3crb+3cib~—b

2、'.对上面列出的五个公式,冇兴趣的同学可以自己去证明.(一)、提公因式法和公式法【例1】•把下列各式分解因式:(1)2x3一6x2；(2)3pq3+15p'q；(3)(a一Z?)3一a+b；(4)(2x+y)2一6(2x+y)+9・解：(1)原式=2兀"兀—3)；⑵原式=3pq(cf+5p"(1)原式—(a—b)[(a_b)?—1]=(a—b)(a—b+l)(a—b—1)；(4)原式—[(2x+y)—3]~—(2x+y—3)~.练习(1)a4-4；:(1)原式=(/_2)@2+2)=@_©)@+")@2+2)(3)a1-a-h

3、2+h【例2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8+x3(2)0.125—27戾(3)27夕—胪(4)(a+bf—(a—仍彳；解：(1)8+x'=2’+兀'=(2+x)(4—2x+兀彳)(2)0.125-27戻=0.53-(3b)3=(0.5—3/?)[0.52+0.5x3b+(3b)2]=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2)(3)原式=(3a)3-(b2)3=(3a-b2)(9a2+3ab2+b4)(4)原式=/+3a2b+3ab2+戾-(/一3a2b+3ab2一戻)=herb+2b'=2b(3a2+b2

4、)说明：(i)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幕的运算法则，如8/戾=(2")“，这里逆用了法则(ab)n=a,lbn；⑵在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式屮各项的符号.练习⑴10F—9—(2)a3+27(3)8-m3(4)-27x3+8(a+3)(a?—3a+9),(2一加)(4+2m+m2),(2一3x)(4+6兀+9x2),【例3】分解因式：(1)3咼-8"(2)a1-ab6(3)6x3-18x2y+18xy2-6/；(2)x3+/+(x+j)3解:(1)3q彷一8“4=3/?(/-27戾)=3

5、b(a—3b)(Q2+3ab+9/?2).(1)a1一ab6=a(ae-b6)=a(a3+b3)(a3-b3)=a(a+bcr-ab+b2)(o-b)(a2+ab+戻)=a(a+b)(a-bcr-^-ab+b1)(/-ab-^b1)(1)原式=6(x3-3x2y+3xy2-y3)=6(x-y)3；(3)原式=(x+y)(x2-小+才)+(兀+=(x+y)(2x2+2y2+xy).练习(1)xy'+x4(2)xn+?,一xny3x(x+y)(y2一xy+x2),xn(x一j)(x2++y2),(3)(q+by—-=(4)y2

6、(x2一2x)3+y2=y2(兀_1)2(兀4_4x3+3^+2%+1)(二)、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式•而对于四项以上的多项式,ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.1.分组后能提取公因式【例1】把2ax-1Oay+5hy-hx分解因式.分析：把餌项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按兀的降幕排列，然后从两组分别提出公因式2a—b,这时

7、列一个因式正好都是x—5y,这样町以继续提取公因式.解：2ax-1Qay+5hy-hx=2a(x-5y)-h(x-5y)=(x-5y)(2a-h)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.【例2】把ab(c2一)_(/_h2叔分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.解:ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc1一abd2一a2cd+b2cd=(abc?一a2cd)4-(h2c

8、d一abd2)=ac(bc一ad)+bd(bc一ad)=(be-ad)(ac+bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.练习(1)兀3+9+3兀