造桥选址问题案例设计甘晓云

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1、造桥选址问题——最短路径问题第二课时设计案例南宇市新民中学甘晓云一、内容与内容解析（一）内容本题选自人教版八年级上册第13章《轴对称》13.4课题学习第86页问题2.利用平移研究某些最短路径问题.（二）内容解析本课题学习是利用图形变换来研究某些实际问题屮的最短路径问题•问题2以造桥选址这样一个实际问题为载体展开研究，让学生经历将实际问题抽象成数学的线段和最小问题,再利用平移变化将线段和最小问题转化为“两点Z间，线段最短”问题.所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点Z间，线段最短”问题.二、冃标与冃标解析（-）目标能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化

2、在解决最值问题屮的作用,感悟转化和化归的思想.（二）冃标解析本节课所要达成的冃标，一是能将实际问题屮的“地点”、“河”抽象为数学屮的“点”、“线'，把实际问题抽彖为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点Z间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程屮，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初屮生，此前很少在几何屮接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。解答在两条直线异侧两点的最短路径问题时，如何利用图形变化将其

3、转化为“在-条直线异侧两点与直线上点的线段和最小问题”，为什么需要这样转化、怎样通过图形变化实现转化的，一些学生在理解和操作上存在困难。在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点（与所求作的点不重合）。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，因为之前很少遇到，不过有了问题1的铺垫，部分同学会想到，但还会有一些学生无从下手。要克服这个难点，关键是要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路.本节课的教学难点在于如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题.针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的：通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰

4、富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程屮，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力•并结合几何画板演示加深学生的理解。在教学模式上，以学生为主体，将课堂还给学生，给学生一个充分展示自己的舞台，在小组合作探究后，让学生代表在口板上演示自己小组的成果展示，使学生在这个过程屮获得成功的体验，从而激发对数学的激情。在这节课堂教学屮，充分利用口板、几何画板等现代多媒体工具，使学生对抽象、复杂的关系有了更直接、明了具体的感观，激发学生对数学的兴趣.四、教学过程设计（一）问题铺垫1•回顾复习下列问题

5、（1）如图1,〃两点在路/的两侧，在/上找一点C使到两地的路径最短.（2）如图2,〃两点在路/的同侧，在/上找一点C使到两地的路径最短.设计意图：帮助学生回顾已掌握的两种最短路径的模型，并体会最终的依据都是利用了“两点之间，线段最短”・2.铺垫问题：如图，/和〃两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到〃的路径AMNB最短.设计意图:帮助学生从现实出发，总结造桥选址的两要素:路径最短、材料最省.（二）将实际问题抽象为数学问题问题2（造桥选址问题）如图，/和〃两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥胚V桥造在何处可使从力到〃的路径/胚岀最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要

6、与河垂直・）M•bNB我们把河岸看成两条平行线日和b,A.〃分别是河岸两侧的两点，要修一条桥MN,MN丄a,MN丄b,引导学生体会把川可以看成直线方上的一个动点，把问题就转化为当点川在b的什么位置，有仙城W粉最小•在由河宽固定,进一步把问题转化为AM+BN最小.（三）尝试解决数学问题让学生分组讨论，在学案上尝试画出最短路径•学生由前面的解题经验，容易出现下面的错误:第一类：错误归因：直接认为两点之间，线段最短,第二类:错误归因：直观感觉垂线段最短，没有考虑垂线段最短的应用背景.第三类:错误归因：受问题1影响，错套方法.对于学生出现的错误方法，通过几何画板演示一一验证，让学生直观感受所作的路径

7、均不是最短路径.并让学生体会体会在方上会有一个点使AM+MN+NB.引导学生：这与前面回顾复习中的问题是否有类似的地方呢？都是两条线段和最小的问题，但前面的问题都只有一条直线，这里有两条直线，而且加久用？是断开的两条线段，能否把它们放在一起呢？再让学生进行小组讨论交流，可以让作出正确作法的学生进行展示和说明•我再借助几何画板的演示帮助学生加深理解和感受.帮助学生总结具体的作图操作步骤是，过点/作AC丄b于点C