微积分-无穷级数

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1、第十章无穷级数§10.1无穷级数的基本概念§10.2无穷级数的基本性质§10.3常数项级数的收敛性判别法§10.4函数项级数与幂级数§10.5函数的幂级数展开一、无穷级数的概念1、无穷级数的概念定义1设给定一个数列：称（1）为无穷级数，简称级数.一般项为无穷级数，简称级数.为数时，称为数项级数.为x的函数时，称为函数项级数.前项和称为(1)的部分和.构成一个新的数列:2、级数的收敛与发散称为部分和数列记若不存在,则称级数(1)发散.若称为级数(1)的余项若则称级数(1)收敛,且收敛和为定义23、数项级

2、数的敛散性的概念若则称级数(1)收敛,且收敛和为所以,级数发散.例1.判别级数的敛散性.解例2.判别级数的敛散性.解所以,原级数收敛,且收敛和为1.例4.判别级数的敛散性.解:(1).级数收敛.例5.讨论等比级数(几何级数)的敛散性（q称为级数的公比，a0）解:1).当时,,发散;3).当时,当时,,收敛;2).当时,,发散;当时,,发散.当时,收敛于当时,发散.发散例如例4.证明调和级数发散.证明反证法与假设矛盾，所以,原级数必发散于是二、无穷级数的基本性质性质1证若则证收敛级数的线性组合仍收敛.

3、性质2性质3证加括号后得(2)(2)的前m项和相当于(1)的前n项和.收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变显然，{Wm}是{Sn}的一个子数列设(1)(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.反例:收敛,(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛.注意(3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.性质4增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变.证级数(1)去掉前项得级数(2)为常数,故当时,与的极限同时存在或不存在.所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性.其它情况类似可证.级数

4、(2)的前n项和为例如,与具有相同的敛散性,均收敛.但收敛和不同级数的敛散性与前有限项无关.性质5证（1).条件必要而不充分,即逆命题不成立.由,不能断定收敛.收敛，（级数收敛的必要条件）若则注意例如,调和级数但该级数发散(2).逆否命题成立.若则一定发散.例如,因发散例4.判别级数的敛散性.解:(1).级数收敛.1、正项级数及其敛散性判别正项级数：部分和数列单增：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.定理1三、常数项级数收敛性判别法2、正项级数敛散性的判别(比较判别法)设1).若收敛,则收敛;2)

5、.若发散,则发散.证.定理2推论设都是正项级数,2）若发散，则发散。1）若收敛，则收敛。级数,当时收敛;当时发散.结论比较判别法:将要判定的级数与已知收敛或发散的级数作比较解发散.则当时,有当时;例如,发散;收敛.例1.判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散故原级数收敛.收敛,例2解定理3设为正项级数,(1)若则敛散性相同.(比较判别法的极限形式)(2)若则(2)若则例1.判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散收敛,故原级数收敛发散,故原级数发散例2.判别级数的敛散性:解取因发散,故原级数发散

6、.例3.判别级数的敛散性.解取收敛,故原级数收敛.例4.判别级数的敛散性.解而级数收敛,故原级数收敛.取定理4设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(比值判别法)解:级数收敛.级数发散.例5.判别级数的敛散性:级数收敛.解.级数收敛.例6.判别级数的敛散性:收敛,故原级数收敛.收敛,故原级数收敛.而定理5设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(柯西根值判别法)例7.判别级数的敛散性:解.级数收敛.级数收敛.原级数收敛.2、交错级数及其判别法交错级数：或即，正负项相间的级数为

7、交错级数。定理若满足:则级数收敛,其余项(莱布尼茨定理)且证.单增且有上界,证毕故例1.判定级数的敛散性:解.所以级数收敛.所以级数收敛.例3.判定级数的敛散性,解原级数发散.解原级数收敛.（1）任意项级数：为任意实数.3、任意项级数的绝对收敛和条件收敛正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况必定收敛.证设收敛,令由正项级数比较判别法知收敛.收敛,若级数则级数定理71).逆命题不成立.注意由性质知,收敛.证毕.发散收敛.例如解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为1).若收敛,则称为绝对收敛.2).若

8、收敛,但发散,则称为条件收敛.（2）绝对收敛、条件收敛.正项级数收敛时一定是绝对收敛注意解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为例2.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解故原级数绝对收敛.例3.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解对应的正项级数为因为所以发散所以有故原级数收敛，且为条件收敛。定理8设任意项级数当时,级数绝对收敛;当发散;当时,敛散性不定.发散.若由比值审敛法或根值审敛法判定发散,则可以断定注意例4.