现代信号处理-第12讲

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1、可证明：(3)格形结构最小二乘法的算法令：U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=x(n)、z=(n)有：411正交原理：定义前向预测误差矢量和后向预测误差矢量的相关系数为：412第m+1阶后向反射系数定义为：满足格形结构表示式类似上述推导，令：U=X1,m(n)、u=x(n)、y=z-m-1x(n)、z=(n)有：第m+1阶前向反射系数定义为：前向预测残差有：413令U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=x(n)，z=x(n)有：对比后向预测残差有：有：类似地，令：U=X1,m(n)、u=x(n)、y=z

2、-m-1x(n)、z=z-m-1x(n)414令：U=X1,m(n)、u=(n)、y=z-m-1x(n)、z=x(n)其中m(n-1)为角度参数：令：U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=(n)、z=(n)格形结构自适应最小二乘算法：初始化：415时间迭代：按n=1，2，变化，对每一个n时刻，设：m从0，1，，到p-1迭代：计算m+1(n)：计算：计算：计算m+1(n)：计算各阶前后向反射系数：从这些反射系数推导信号AR模型的系数4166、快速横向滤波器利用线性矢量空间及其投影技术，也可推导固定阶数的横

3、向最小二乘自适应滤波器的算法这种滤波器称为快速横向滤波器(FTF)(1)横向滤波器快速横向滤波器的自适应算法涉及4种横向滤波器这4种滤波器都可用横向滤波算子来描述最小二乘横向滤波器n时间的观察矢量x(n)为：x(n)=[x(1)x(2)x(n)]T用一权系数矢量为w(n)=[w1(n)w2(n)wp(n)]T的p阶横向滤波器，从x(n)估计期望信号矢量d(n)=[d(1)d(2)d(n)]T，所得的最小二乘估计为：其中矩阵X0,p-1(n)为：417根据最小二乘横向滤波器的权系数矢量解为：定义np阶矩阵U的横向滤波算子：

4、418矩阵X0,p-1(n)的横向滤波算子为：估计误差矢量的当前分量为：横向滤波算子K0,p-1(n)是pn阶矩阵根据，估计的误差矢量为：是矩阵X0,p-1(n)列矢量张成的子空间的正交投影矩阵419前向预测误差滤波器格形结构最小二乘法中，可利用n时刻以前的p个观察值，对x(n)做最小二乘估计，这种估计称为最小二乘前向预测利用线性矢量空间概念，观察矢量x(n)的前向预测矢量为：其中矩阵X1,p(n)为：ap(n)是最小二乘前向预测系数矢量：ap(n)=[a1(n)a2(n)ap(n)]TP1,p(n)是矩阵X1,p(n)列矢

5、量张成的子空间的投影矩阵：4110矩阵X1,p(n)的横向滤波算子为：最小二乘前向预测误差矢量的当前分量为：最小二乘前向预测系数矢量ap(n)为：最小二乘前向预测的误差矢量为：最小二乘前向预测的残差为：4111后向预测误差滤波器类似于前向预测误差滤波器的推导，可得到后向预测误差滤波器的情况观察矢量x(n)的最小二乘后向预测矢量为：其中矩阵X0,p-1(n)为：bp(n)是最小二乘后向预测系数矢量：bp(n)=[bp(n)b2(n)b1(n)]TP0,p-1(n)是矩阵X0,p-1(n)列矢量张成的子空间的投影矩阵：4112矩阵

6、X0,p-1(n)的横向滤波算子为：最小二乘后向预测误差矢量的当前分量为：最小二乘后向预测系数矢量bp(n)为：最小二乘后向预测的误差矢量为：最小二乘后向预测的残差为：4113增益滤波器增益滤波器的权矢量g(n)用来表示观察值子空间{X0,p-1(n)}和{X0,p-1(n-1)}间夹角的大小以一维子空间为例：(n)在x(n)上的投影记为Px(n)(n)因是一维子空间，该投影可表示为x(n)的倍数：Px(n)(n)=g(n)x(n)其中g(n)可视为x(n)根据最小二乘法预测(n)的单一系数滤波器的权系数这一预测的误差矢

7、量为：其n时刻的分量为：根据角度参数的定义，有：4114将结论从一维子空间推广到p维子空间，有：结论：用权矢量为gp(n)的增益滤波器对最近的观察值xp(n)进行处理，可得到角度参数p(n)其中xp(n)为：xp(n)=[x(n)x(n-1)x(n-p+1)]T增益滤波器权矢量gp(n)可通过横向滤波算子K0,p-1(n)作用于单位现时矢量(n)而得到：gp(n)可视为观察值矩阵X0,p-1(n)对(n)的最小二乘估计以上4种横向滤波器的权矢量都可用某一横向滤波算子作用于某个矢量而得到它们的时间更新问题可归结为相应横向滤

8、波算子的时间更新问题4115(2)横向滤波算子的时间更新设U是np矩阵，U的p个列矢量张成p维子空间{U}，投影矩阵和正交投影矩阵分别为PU和u是n1矢量，将u加入{U}构成p+1维子空间{U，u}，对应新矩阵为[Uu]，投影矩阵和正交投影矩阵分别为PUu和