高等土力学课程论文

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1、数值解法求解渗流问题综述高世雄(12级上木工程学院研究生班岩土工程专业)摘要：在渗流领域中的求解方法大概可分为有网格和无网格划分方法。有网格划分方法是近年常用的有限元法，无网格格则是一个相对新的求解方法。渗流的很多问题人们可以用数学模型进行描述。这些模型通常是常微分方程或偏微分方程及定解条件。但能用解析方法求出精确解的只是少数方程比较简单,口几何形状相当规则的情况。对于大多数问题，由于方程木身的复杂性,或由于求解域的几何形状比较复杂，只能采用数值方法求解。径向基函数插值法是在近十余年来发展起来的一种微分方程数值求解的无网格方法，该方法在对微分

2、方程数值离散时不需要网格，因此不仅避免了网格生成的复杂过程，还可以显著减少传统网格方法(如有限元法、有限差分法)等中因网格畸变带来的不利影响，并进一步探讨了这些方法的优缺点。关键词：有限元法；无网格法；径向基函数；渗流问题1引言随着计算机技术的高速发展，有限元方法成为本世纪数值分析⑸"的重要成果，并且在科学技术的各个领域得到了充分的应用。然而，人们一直没有停止过寻找新的数值计算方法的研究。这主要是由于现已比较成熟的计算方法并非完美无缺，由于自身的缺陷，它们在解决某些问题时会遇到难于克服的困难。对于传统的计算方法2】(有限元，有限差分等)，在处

3、理某些问题时会显得有些笨拙，如：1、工业材料冲压成型过程小，模拟大变形情况下的材料流动；2、裂纹沿任意复杂路径动态扩展的模拟；3、髙速撞击过程屮产生的结构的儿何畸变(如穿透、侵彻等)；4、奇异性等特殊问题等。基于网格的方法，在计算过程小如果网格畸变,将导致计算失效。也就是说，网格的存在妨碍了处理与原始网格线不一致的不连续性和大变形。因此这类问题需要更加有效的数值分析方法，最近儿年正迅速发展的无网格数值计算方法(MeshlessMethod)以其特有的优点适合这类问题。无网格方法抛开网格，建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似而非插值是无网

4、格法与有限元方法的主要区别。无网格法具有以下优点：(1)无网格法的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的困难，尤其对于处理高速碰撞、动态断裂、犁性流动、流固祸合等涉及人变形和需要动态髙速节点位置(网格)的各类应用问题时，具有较大优势。(2)无网格法基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，适用于分析各类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题。(3)采用紧支函数的无网格法和传统网格方法一样具有带状稀疏系数矩阵的特点。适用于求解大型科学与工程问题。(4)无网格法的自适应很强。在自适应分析中不需耍重新划分网格，极易实现p自适应分析，若

5、引进小波函数还具有多尺度分析功能。(5)无网格法的前处理只要节点位置信息，不用网格信息，容易分析复杂三维结构。(6)无网格计算的结果是光滑连续的，不必再进行应力光顺化等后处理。2传统方法2.1有限元法采用固定网格法对整个渗流计算区域进行有限元离散，单元内压力水头在空间和时间域上的变化近似地表达为：hc=NmilcmNm=$(]+^^*)(1+HTLJ(1+©J丿有限元法计算主要是求解渗流场内水头函数，确定渗流场内的自由面和渗流量等渗流函数。有限元法即把微分方程和边界条件按变分原理转变为一个泛函数求极值的问题。首先把连续体或研究离散划分成有限个

6、单元体，然后形成代数方程组，在计算机上求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描述，另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。在非稳定渗流计算的每个时间步中须进行迭代,根据压力水头确定单元渗透系数k及5H/5h,进而修正矩阵A、B、P。以高斯点为研究对象，在单元中不同高斯点有不同的压力水头，进而可得不同的渗透系数k及5H/5h,这样修正后的矩阵A、B、P较合理。在时间t+At中i次迭代计算后可得各节点的压力水头h,从而可求出单元各高斯点的压力水头。对压力水头no的高斯点饱和区,渗透系数取饱和值;对压力水头<0的高斯点非饱和区,渗

7、透系数可由渗透介质k・h曲线得出，dH/dh由H・h曲线得出。2.2有限体积法法有限体积法和有限差分法相似，它通常将计算域划分为一系列的正交网格，其所寻求的也是函数在网格节点上的近似解，而不考虑解在网格节点之间的变化。有限体积法对每一个网格节点周围取一个控制体，将待解的微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组对应微分方程的离散方程。在寻求控制体积的积分时，有限体积法却与有限元法相似，假定解在网格节点之间的插值分布关系，只是在有限体积法屮插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程后便可抛弃插值函数。有限体积法又称为控制体积法，其离散方法主

8、要有控制体积积分法和控制体积平衡法两种。它将计算区域划分为一系列不重复又不脱离的控制体积。在每一个控制体积中设置-个网格节点有限体积法二维网格主要有三种布置方式⑶：