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1、....课时作业(十五)一、选择题1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②
2、a
3、＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9
4、a
5、2－4
6、b
7、2.其中正确的有( )A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中
8、a
9、2·b＝
10、b
11、2·a不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a＋b＋c＝0，
12、a
13、＝2，
14、b
15、＝3，
16、c
17、＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )A．30°B．45°C
18、．60°D．以上都不对【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝
19、a
20、2＋
21、b
22、2＋2a·b＝
23、c
24、2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.【答案】 D3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.与B.与C.与D.与专注专业....【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.【答案】
25、 A4.如图3121，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )图3121A．2·B．2·C．2·D．2·【解析】 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．专注专业....【答案】 C二、填空题5．已知
26、a
27、＝2，
28、b
29、＝3，〈a，b〉＝60°，则
30、2a－3b
31、＝________.【解析】
32、2a－3b
33、2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×
34、a
35、2＋9×
36、b
37、2－12×
38、a
39、·
40、b
41、·cos
42、60°＝61，∴
43、2a－3b
44、＝.【答案】 6．已知
45、a
46、＝2，
47、b
48、＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知即⇒λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.【答案】 (－1－，－1＋)7.如图3122，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．图3122【解析】 不妨设棱长为2，则
49、1
50、＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，故填90°.【答案】 90°专注专业....三、解答题8
51、．如图3123在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.图3123【证明】 设＝a，＝b，＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.∴·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(
52、b
53、2－
54、a
55、2)＝0.∴⊥.∴A1O⊥BD.专注专业....同理可证⊥.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O⊄面BDG，∴A1O⊥面GBD.9．已知长方体ABCDA1B
56、1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.【解】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则
57、a
58、＝
59、c
60、＝2，
61、b
62、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝·＝b·＝
63、b
64、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(＋)＝·(a＋c)＝
65、c
66、2－
67、a
68、2＝22－22＝0.专注专业....(3)·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－
69、a
70、2＋
71、b
72、2＝2.1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1
73、B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )A．－1B．0C．1D．2【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )A．30°B．60°C．90°D．45°【解析】 由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.专注专业....cos〈，〉＝＝⇒〈，〉＝60°.【答案】 B3．(2014·长沙高二月考)已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点
74、N，使MN⊥AE，则＝________.【解析】 设＝m，由于＝＋，＝＋m，又·＝0，得×1×1×＋4m＝0，解得m＝.【答案】 4．如图3124，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝
