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1、2007诚都)如图，A是以BC为直径的。0上一点，于点D,AD丄BC过点B作OO的切线CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF；(2)求证：PA是的切线；(?)若FG=BF,且。O的半径长为32,求BD和FG的长度.考点:切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似二角形的判定与性质.专题:几何综合题.分析:(1)根据切线判定知道EB丄BC,而AD丄BC,从而可以确定AD〃BE,那么△BFC-ADGC,乂G是AD的中点，就可得出结论BF=EF.(2)要证PA是的切线，就是要证明ZPAO=90
2、。连接AO,AB,根据第1的结论和BE是。O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论.(3)点F作FH丄ADT点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度.VBC是的直径，BE是的切线，AEB丄BC.又TAD丄BC,・・・AD〃BE.VABFC^ADGC,AFEC^AGAC,BFDGCFCG9EFAGCFCGBFDGEFAG•・・G是AD的中点,DG=AG.FABF=EF.（2）证明：连接AO,AB,VBC是OO的直径，AZBAC=90°・在RtABAE中，由（1）,知F是斜边BE的中点,AA
3、F=FB=EF.AZFBA=ZFAB・又VOA=OB,AZABO=ZBAO.VBE是00的切线，AZEBO=90°.JZEBO=ZFBA+ZABO=ZFAB+ZBAO=ZFAO=90°,•••PA是00的切线.（3）解：过点F作FH丄AD于点H,VBD丄AD,FH丄AD,・・・FH〃BC.由(2),知ZFBA=ZBAF,・・・BF=AF.由已知，有BF=FG,・・・AF=FG,即ZXAFG是等腰三角形.TFH丄AD,・・・AH=GH.*.*DG=AG,ADG=2HG.即HGDG12TFH〃BD,BF〃AD,ZFBD=90°,・•
4、・四边形BDHF是矩形，BD=FH.•・・FH〃BC,易证△HFGs/sDCG,FHCDFGCGHGDG即BDCDFGCGHGDG12•・・©0的半径长为3•••BC=62BDCDBDBC-BDBD2-BD12解得BD=22■ABD=FH=22FGCGHGDG12・・・CF=3FG.在RtAFBC中，VCF=3FG,BF=FG,.CF2=BF2+BC2/.(3FG)2=FG2+(6）2解得FG=3（负值舍去）/.FG=3・
