问题4.4高考题中向量数量积的若干种求法（原卷版）

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1、2017阳爲三就醪烤越一凉钱橢品问题U!高考题中向量数量积的若干种求法平面向暈的数暈积是向暈知识屮的重要内容,考题屮往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题，是高考题的热点和重点，那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面了以阐述,以期给同学们启发.一、利用“定义”求平面向量数量积ab=a示・cos0,根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提.【例1】【2017届山东荷泽一屮宏志部高三上学期月考】若外接圆的半径为1,圆心为o.2Oa+ab+ac=6且=

2、瓦则冯•丙等于（）A.-B.V3C.2V32D.3【分析】分别由已知条件求出岡」

3、词及夹角，再岚胡阔・cos&,利用求数量积【解析】由题意，而+疋=-2丙，所以O是边3C的屮点，乂因为O是外接圆圆心，所以BC是外接圆直径,=90°,BC=2OA=2，如下图所示，因为OB=OA=AB，所以ZB=60°，所以ZC=90-ZB=30’,CA=CB・sin60°=品.所以C4CB=V3-2cos30°=3.故木题正确答案为D.【点评】利用定义求两个非零向量数量积，关键耍搞清向量的数量积和模，尤其在求向量夹角时，要判断英起点是否共点.【小试牛刀】若等腰AABC底边BC±的中线长为1,底角B>6O°J

4、JBA.AC的取值范阖二、

5、利用“坐标”求平面向量数量积设a=(x^y}),b=也,y2)，则方易=兀內+»，用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系，把向量坐标化，特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果.T宀3,点P是边AB上的c【例2】在MBC中，内角ABC的对边分别为a,心巧一个三等分点，则CPCB+CPCA=(A.0B.6C.9D.12【分析】由已知条件可求AABC的高,和底边AB的长,根据对称关系，以AB所在的直线为兀轴，高所在直线为y轴建立坐标系，用坐标表示相关点，用坐标求数量积.【解析】过点C作CO丄

6、AB,垂足为O.如图所示，2323.・・・C0“AO=0B=(32_(羽亍=46.取点P靠近点B的三等分点.则P(¥，0).ACPCB+CPC4=C?-2CC=2(^,-V3)(0,-V3)=6•同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6.ACP・CB+CPCA=6.【点评】用坐标法求平而向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键.【小试牛刀][2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知0是坐标原点，点A(-1,1),若点M（x,y）为平面区域x

7、A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2]三、利用“分解转化法”求平面向量数量积利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果，这种方法应予以重视.【例3】【2016届福建省上杭县一中高三12月考】如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，丽=2而侧和•廷的值是（）A.B.C.--D.【分析】通过向量加法三角形法则把有关向量用丽，況，亦表示.【解析】•俪=2而八1,・・・

8、尸0

9、冷而丽=（而+而）•（而+呢）=fofv(oe^od)^odoe=[^2【小试牛刀】

10、【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,c-h=6.c+h-a=2为此三角形的内心，则AOCB（）A.4B.5C.6D.7两个向量的数量积是平面向量最重要、最活跃的内容，它的概念和性质在三角函数、立体儿何、解析几何中都有着广泛的应用,求两个向量的数量积也常常11!现在各类试题里，所以同学们一定要认真体会本文提到的三种方法,达到熟练运用，触类旁通.【迁移运用】1.[2017届辽宁葫芦岛普通高屮高三上学期考试】已知点O为AABC内一点，乙AOB=12（）o,OA=l,OB=2,过

11、O作OD垂直AB于点D,点E为线段OD的中点，则死•鬲的值为（）33A.—B.—2814C.-D.—7141.[2017届安徽百校论坛高三上学期联考】在UABCD中,E是CD上一点，且AE=-AB+SC,AB=2SC=4,ZBAD=60°,则等于（）213A.—B.—C.222D.32.[2017届山东淌泽一中宏志部高三上学期月考】若AABC外接圆的半径为1,圆心为O.2OA+AB+AC=0且,

12、oa

13、=

14、ab

15、,则爲•丙等于（）A.-B.x/3C.2V32D.33.[2017届河南息县第一高级中学高三上段测】设等边三角形ABC边长为6

16、,若BC=3BE,AD=DC^BD•盘等于（）A.-6^2?B.6^2?C.-18D.184.[2017学年河北冀州中学高二上学期月考】在AABC中,AC=6,AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则A