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1、第二章参数估计§1点估计和估计量的求法§2估计量的好坏标准§3区间估计引言上一章，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，它们是进一步学习统计推断的基础.§1点估计和估计量的求法总体样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样现在我们来介绍一类重要的统计推断问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问
2、题称为参数估计.1.1什么是参数估计？X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是点估计区间估计为估计,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…,Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…,Xn)中，得到的一个点估计值.T(X1,X2,…,Xn)称为参数的点估计量，请注意，被估计的参数是一个未知常数，而估计量T(X1,X2,…,Xn)是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数
3、值,这个数常称为的估计值.使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量.问题是:1.2矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:或格利汶科定理（见教材第9页）它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律记总体k阶矩为样本k阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为设总体的分布函数中含有k个未知参数都是这k个参数的函数,记为：,那么它的前k阶矩一般i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,k那么用诸的估计量Ai分别代替上
4、式中的诸,即可得诸的矩估计量：j=1,2,…,k解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩例1设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解:由密度函数知例2设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=D(X-)=即E(X)=D(X)=解得令用样本矩估计总体矩即E(X)=D(X)=解：矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时
5、，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.1.3最大似然估计法（或极大似然估计法）是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.下面我们再看一个例子,进一步体会极大似然法的基本思想.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学
6、命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.例4设X~B(1,p),p未知.设想我们事先知道p只有两种可能:问:应如何估计p?p=0.7或p=0.3如今重复试验3次,得结果:0,0,0由概率论的知识,3次试验中出现“1”的次数k=0,1,2,3将计算结果列表如下：应如何估计p?p=0.7或p=0.3k=0,1,2,3p值P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0.70.0270.1890.4410.3430.30.3430.4410.1890.027出现估计出现出现出现估计估计估计0.3430.4410.4410.343如果
7、有p1,p2,…,pm可供选择,又如何合理地选p呢?从中选取使Qi最大的pi作为p的估计.i=1,2,…,m则估计参数p为时Qi最大,比方说,当若重复进行试验n次,结果“1”出现k次(0≤k≤n),我们计算一切可能的P(Y=k;pi)=Qi，i=1,2,…,m如果只知道0
