你会解物理中最值问题吗

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1、你会解物理中的最值问题吗?云梦一中乾华高一、运用二次函数求极值1.利用二次函数极值公式求极值4ac-b2""4a对于典型的一元二次函数y=ax2+/zx+c,若d>0,则当x=~—时,y有极小值,2ab—若心，则当—茲时，询及大值，为几‘h例1・一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上口行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过吋间t后，自行车做匀速运动，其位移为S]=W,1

2、,汽车做匀加速运动，其位移为：=-at221.3o两车相距为：bS=S—Sr=Vt一一at2=6t一一t222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故AS有最大值。当/=_h2a药FT2($)时，AS有最大值△S4cic-b2""4a0-624x(—3/2)=6(m)2.利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数y=ax2+bx+c,可变形为一元二次方程cu：+bx+c-y=0b?—4ac用判别式法A=b2-4ac=b2-4a(c-y)>0BP：y<•4ab2-4ac则rh不等式可知y的极值为：

3、4ci对于例题1,我们可以转化为二次方程求解。WAS=St-S2=6r-

4、r2可转化为一元二次方程：-3r2+12Z-2AS=0要使方程有解,必使判别式△=b2-4ac=122-4x(-3)x(-2AS)>0解不等式得：△SW6,即最大值为6m二、利用不等式求极值1.如果a,b为正数，那么有：a+b>24^b,当且仅当a二b时，上式取"二”号。推论：①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。②两个正数的和一定时，两数相等时，其枳最大。2.如果a,b,c为正数，则有ci+b+c'3』ubc,当且仅当a二

5、b二c时，上式取"二”号。推论：①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。例2.—轻绳一端固定在0点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬吋功率在何处取得最大值?解：当小球运动到绳与竖直方向成0角的C时，重力的功率为：P=mgucosa=mgvsinO(T)小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLcos&=丄加/②2解①②可得：P=mg^2gLcos0sin20令y

6、=cosOsin()•/y=cossin20=^(2cos2^sin4&)=J-^(2cos20-sin20-sin2&)乂•・•2cos2G+sin?&+sin，0-2(sin204-cos20)=2根据基本不等式a+/?+cn3冷cibc，定和求积知：当且仅当2cos2^=sin2^,y有最大值由2cos20=1-cos20得,cos0=——3结论:当cos。y及功率P有最大值。三、利用三角函数求极值1.利用三角函数的有界性求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所

7、求物理量表达式可化为“y=Asinacosa”的形式，可变为y=—Asin2cn由牛顿第二定律提：mgsin0=ma③联立①②③式解得：t=2bsincosVgsin2&2Sci4/7可见，在90°>0>0°内,当20=90°时，sin20有最大值,t有最小值。即6=45°时，有最短时间为:2.利用“化一”法求三角函数极值。对于复杂的三角函数，例如y二asin&+bcos&,要求极值时,先需要把不同名的三角函数sin&和cos&,变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一Sy=asin0+bcos0=J/+

8、，("二sin&+/•cos3)=a2+Z?2(cossin+sin(/)cos3)=Ja，+b?sin(&+0)其中tan^=—故y的极大值为J/+，o例题4.物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为卩，物体重为G,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有卩和G,说明最小拉力的表达式中最多只含有卩和G,但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角

9、为8,根据题意可列平衡方程式，即Feos0-f=O……①N+Fsin&=G……②f=③由联立①②③解得：F=“G二AGnG“sin&+cos6J+“2（$讯qcos0+cos0sin（/））Jl+fsin（&+0）其屮tan^=—四、利用向量求极值向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短对求极值。对于例题4,我们也可用矢量知识求极值。将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F