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1、十道量子力学口试题赏析说明第一，这十道面试题，不是特意编辑和思考的结果。而是上篇博文撰写过程中，临时回想出的一些问题。面试过程中，对毎位考生，每位老师顶多能问一次，而且最好不耍重复。所以我现场提出的问题耍女很多，而且不限于最子力学。第二，周世勋先生的《量子力学教程》是我校指定的复习教材，很多学生的笔试近乎满分。问一问就可以知道他是否尝试脱离应试的桎梏。第三，如果不是研究理论性问题的研究人员、也不是量子类课程（含量子力学、屋子场论、竄子统计、固体理论等）的教师，一时想不起答案來，很正常。插播复试时自傲
2、的学生？还是上个世纪碰到过！科学院物理所罗会仟研究员：学丫会卄:常自傲，说把最子力学给读烂『，然后而试问题是让他在黑板上现场解氮原子的薛定谒方程。这哥们立马挂了。对考科学院理论物理所博士的某位硕士：“你说你的硕士论文研究的是统计物理问题，而你解决的这个问题対宇宙起源和演化的理解令所帮助。那你讲讲都有哪吐帮助？”这哥们也立马挂了。1,宽度为a的一维无限深势阱小的基态，当宽度突然变化到2a时，是否会变到新的无限深势阱中的基态？答案：在新的势阱小，要把原来的基态通过简单的添加零后就是新的势阱屮的状态（以保
3、证粒子数守恒），会发现这个态不是新势阱中的基态。赏析：动力学立即改变时，状态不会马上变化。不过，如果把这个问题反过来,问当宽度突然由2a变化到a时，基态如何变化，就是一个棘手的问题。2,问一维谐振子基态波函数对位置的依赖大概是个什么函数?答案：高斯分布。赏析：一维体系本征态有三大性质(节点定理，简并定理，宇称定理)。高斯分布往往是对基态形式的第一个尝试。1,粒子的能量低于势垒高度而处于势垒中时，粒子的动能是否为负？答案：学生常冇这个困惑。本质上，量子力学中没冇这个问题。周世勋《量子力学教程》P.92
4、有专门讨论。现在捌n可以讨论§2.8末尾提出的问紙怎卅理解势垒贯•■I•:
5、
6、穿中在势垒内部粒子动能是负值的问题。在量子力学申，这个问题■的提法就才能成立，因为(2.8-20)［见第5。页］岛总算符的等式。由于坐标算符和动量算符不对易，势館算符"和动能算符■・・・、、•tY・••・事也就不对易，即势能和动能不能同时具有确定值;在这种情况下，说在苯一底或菓•区域内粒子的能量等于动能与势能2和是没有意义的。(2.8^20)式只世明在一个蛊中平均號量等罕平均I动能与平的势能之和，而对一个态求平均时,要对她
7、的整个区域积分。当粒子在势垒范围内被发现时，根据測不准关系，粒子的动能就在茶一范罔内不确定。..,赏析：这是周世勋先生《量子力学教程》中唯一一个两次着墨的问题。不可轻视！开始学习量子力学，难以挣脱经典力学理解的定势。而认真的学生要冇一个自我摆脱的过程，并且对这个羽化的过程有体会。按杨振宁先生的说法，任何一位量子力学的学习者，如果没有这个羽化过程，难以进入量子力学的厅堂。1,基态氢原子能级是多少?答案：-13.6eV赏析:13.6eV对于通常的热运动、光照等因素来说，是个很大的能量。它是通常情况下氢原
8、了稳定、也就是碳水化合物（含人体）稳定的原因。2,会不会计算基态氢原子的动量分布?是否听说过对这个分布的测量?答案：这是周世勋《量子力学教程》P.85-86±的一个例题。例求麵子处干猛时,电子动量的几車分札因为要求的是动虽的几卒分布，我们首先将氢原子嶷:波函数血按姒算符的本征酬帕展开。动量算符的松働成连师，因耐賦可写为•Ac詡p&）dP・t由（3・6-8）兀丿L祢幅为%=瞅训100（门仇…■..1•丄1-丄p，r粽枷00（丁）二殛eXeX代人上式畀3•（2九龙）CPU/%(Fel-L.(22N这式子
9、仅与』的绝对值有关，与P的方向无关C由此得到动量的儿率密度为/［屁护+护］4当氢原子处于基态时,电子动量的绝对值在P^pidp范围内的几率，等于
10、cj2乘以动量空间的体积元4砌址P,即血丿(側利用公式Jo(lT7)<=^可以证明各种可能的儿率之和等于lr即jw(p)dp=l.赏析：这是一道优美的习题，值得所有量子力学初学者记住。对这个动量的直接测量需要1990末期出现的电了动量谱仪(Electron-momentumspectroscopy)及其发展。电子动量谱仪的出现是量子力学导致的一个重要技术进
11、步。我曾经引用过的文献包括了清华大学实验小组的工作(X.-G.Renetal,):M.VosandI.McCarthy:Am.J.Phys.65(1997)544;M.Vos:Aust.J.Phys.51(1998)609.E.WeigoldandI.McCarthy:ElectronMomenlumSpectroscopy(KluwerAcademic/Plenum,NewYork,1999)・M.Vos,S.A.Canncy,I.E.McCarthy,S.Uttc
