离散傅立叶变换及其快速算法(DSP3A)

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1、第三章离散傅立叶变换及其快速算法周期序列的离散傅里叶级数离散傅立叶变换频域采样定理DFT的快速算法——FFTDFT与FFT的应用1§1周期序列的离散傅立叶级数周期序列的傅立叶级数对于周期为N的周期序列用基序列{}将其展开。的基频为，其基波为,第k次谐波为∴也是以N为周期的周期序列故基序列{}只有N个是独立的，可以用这N个基序列将展开。2周期序列的傅立叶级数WN的性质1.周期性2.共轭对称性3.可约性4.正交性周期序列的傅立叶级数正变换反变换显然具有周期性3周期序列的傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数的意义周期序

2、列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，幅度为，其中注意：和都可取任何整数值，这表明和都是无限长的，但由于它们的周期性，只需要知道一个周期，其它周期可通过周期延拓得到。离散傅立叶级数（DFS）的性质1、线性性2、移位性4周期序列的傅立叶级数离散傅立叶级数（DFS）的性质3、频域移位（调制）性4、周期卷积定理设和具有相同的周期N，定义：为这两个序列的周期卷积。周期卷积与第二章所讨论的线性卷积不同，其特点是：和都是周期为N的序列。注意5周期序列的傅立叶级数离散傅立

3、叶级数（DFS）的性质5、频域周期卷积定理例：两个周期为N=6的序列和的周期卷积过程类似于线性卷积，首先进行变量代换：，再将其中一个序列进行反褶、移位、相乘，然后相加。运算仅在m=0到m=N-1内进行，计算出一个周期的结果，再进行周期延拓得到整个序列。6定义周期序列的傅立叶变换序列傅立叶变换存在的条件是满足绝对可和或平方可和，但对周期序列这两个条件都不满足，因为当时，序列的值或平方值都不趋于0。若引入频域的冲击函数，也可求得其傅立叶变换。周期为N的周期序列的傅立叶变换为：傅立叶反变换为：7§2离散傅立叶变换问题

4、的引入：由第二章曾讨论过的“序列的傅立叶变换”我们知道：序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率的连续变量函数，且序列的长度不受限制。但在实际利用计算机或数字设备进行频谱分析时，只能处理有限长数据且必须将离散化。有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题——离散傅立叶变换（DFT）有限长序列的离散傅立叶变换离散傅立叶变换的性质离散频率、数字频率和模拟频率间的关系8有限长序列的离散傅立叶变换DFT的定义长度为N的因果序列其频谱为：上式中仅管是离散序列，但却是连续变量，且是的周期为的周期函数，故实际上只需计算在区间

5、上的值。同时，由于为连续变量，在中有无限多个点，而实际只能计算有限个点，故必须将离散化。9有限长序列的离散傅立叶变换在上从0开始等间隔的取N个点，相应的（k=0,…,N-1),则上式变为：定义式其中为序列在离散频率点上的频谱值。10DFT的意义有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换（简称DFT）的意义：1、为序列在离散频率点上的频谱值。2、相当于频谱在范围内实施了等间隔采样，采样间隔为离散傅立叶反变换(IDFT)11DFT的周期性以及与DFS的关系有限长序列的离散傅立叶变换据DFT和IDFT的定义

6、知：∴有限长序列的DFT是的周期序列，周期为N；而由IDFT所求得的也变成了一个周期为N的周期序列，即通过IDFT将原进行了周期延拓。将由有限长序列以N为周期进行延拓后所得的序列记为，并称原为的主值区。其中表示对N除法求余，即若则，例如：12有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的DFT与周期序列的DFS之间的关系DFT与Z变换的关系长度为N的序列其Z变换：与离散傅立叶变换（DFT）相比较有：可见序列的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其DFT的值也不

7、同。有限长序列与周期序列的关系有限长序列是周期序列的主值序列，即：13例1：典型例题已知，分别求和时的。解：由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT的结果也不同。14DFT的性质1、线性性若x(n)与y(n)是同样长的序列，则对任何实数或复数有：2、循环移位性若x(n)是长为n的有限长序列，定义：为的循环移位序列。离散傅立叶变换的性质15循环移位示意图循环移位的实质：将原序列左移位，而移出主值区的各序列值又依次从右侧进入主值区。离散傅立叶变换的性质16离散傅立叶变换的性质DFT的性质3、频域移位定

8、理4、共轭复序列的DFT5、共轭对称性实部虚部17离散傅立叶变换的性质说明：∵和均是有限长序列，定义区间为（0～N-1），与第二章中的对称性不同，这里所谓的对称是指关于N/2点的对称，而不是关于原点的对称。18离散傅立叶变换的性质特别地：若为实序列，则其DFT满足共轭对称特性若为纯虚序列，则其DFT满足共轭反对称性例：设，和为实序列，已知求:和解：19离散傅立叶变换的性质DFT的性质6