电磁场电磁波-第一章矢量分析(1.4-5)

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1、1.4矢量场的通量与散度dř在点M处与失量线相切，则它与F共线。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的一些曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM1.4.1矢量线矢量线不能定量描述矢量场的大小，但过单位曲面积的矢量线的根数描述了矢量线的多少。引入通量的概念。在场区域的某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量。1.4.2矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。空间面元矢量：面元大小与面元垂直的单位矢量n的指向有两种情况：1对开曲面上的面元，的取法要求围成开表面的边界走

2、向与满足右手螺旋法则2对闭合面上的面元，一般取外法线方向矢量场对于曲面s的通量为曲面s上所有小面积元通的叠加：通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量通过闭合曲面有净的矢量线穿出，有正源（产生场）有净的矢量线进入，有负源进入与穿出闭合曲面的矢量线相等。则无源矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义1.4.3.矢量场的散度散度：当闭合面S向某点

3、无限收缩时，矢量F通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场F在该点的散度，以divF表示，即式中div是英文字母divergence的缩写，V为闭合面S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。矢量场F在某点的散度divF，可表示为哈密顿微分算子▽与矢量F的标量积，即圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：直角坐标系下散度表达式的推导令以M点为顶点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyD根据泰勒定理根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为则穿出前、

4、后两侧面的净通量值为1.4.4、散度定理从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。n1=-n2n1n2散度定理的证明：将闭合面S包围的体积V分成许多体积元dV1、dV2、…，计算每个体积元的小闭合面Si上(i=1,2…)穿出的F的通量，然后叠加。1.5矢量场的环流与旋度1.5.1矢量场的环流与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对

5、于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。1.5.2.矢量场的旋度

6、（）（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。特点：其值与点M处的方向有关。过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义◇环流面密度矢量→旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度◇矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。◇点M的旋度的大小是该点环流密度的最大值。◇点M的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。而推导的示意图如图所示。直角坐标系中、、的表达式oyDzDyCMzx

7、1234计算rotF于是同理可得故得利用算符▽，可将rotF表示为：旋度的计算公式:直角坐标系圆柱坐标系球坐标系旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零1.5.3斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量F的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。方向相反大小相等结果抵消