第三章导数的应用教案

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第三章导数的应用知识点:罗尔肚理微分中值定理拉格朗日中值定理柯西定理■9型未沱式 0洛必达法则壬型未泄式00其他类型未沱式函数的单调性P彩函数的极值、最值函数2函数最值在经济问题中的应用导数在经济分析中的应用教学目的要求:(1) 用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗H中值定理的条件与结论。会判断是否 满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件,会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的g o(2) 知道洛必达法则,能运用洛必达法则求不定式的极限,重点掌握“-”型和“-”型,0 00了解 “ 00-00 ”、“0.QO” 型等。(3) 掌握用一阶导数的符号判別函数单调性的方法,会求函数的单调区间,并利川函数的 单调性进行简单不等式的证明;理解函数极值为极值点的概念,拿握极值存在的必要条件, 掌握求函数极值的方法(极值点的充分条件),搞清极值点与驻点的区别与联系。(4) 初步掌握简单实际问题屮最人值和最小值的求法;会利川导数讨论一些简单的经济问 题。教学重点:1. 函数单调性的判断与单调区间的求法2. 函数极值、最值的求法3. 实际应用教学难点:1. 微分中值定理2. 洛必达法则及应川3. 函数极值的求法与应用4. 断数故值的求法与应用第一节微分中值定理【教学内容】罗尔定理,拉格朗口中值定理。【教学目的】理解罗尔定理,拉格朗H中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足 罗尔定理与拉格朗口屮值定理的条件,会求罗尔定理和拉格朗口屮值定理结论屮的g。初步 具有应用中值定理论证问题的能力.【教学重点】1.罗尔定理;2.拉格朗口屮值定理。【教学难点】1 .罗尔定理与拉格训口屮值定理条件的判断;2.罗尔定理与拉格训日屮值 定理结论中g的求解。【教学时数】1学时【教学进程】一、 罗尔(Rolle)定理罗尔(Rolle 1652-1719)法国数学家。年轻时因家境贫穷,仅受过初等教育,是靠自学 精通了代数和Diophantus分析理论。这个定理是罗尔在17世纪初,在微积分发明Z前以几 何的形式提出來的。在介绍罗尔定理之前,我们先来看一个儿何事实。闭区间[%]上的一-条连续曲线y = f(x),在相应的开区间(d,b)内处处光滑无尖点(或 者说曲线无打折现象),且区间端点的函数值相等如图1,则/(切在区间(a,b).上至少有一条 水平切线。我们说这就是微分中值定理Z—……罗尔中值定理的儿何解释。几何意义:① 在[afb]±f(x)是一条连续的曲线。(连续)② 在(a,b)内处处光滑无尖点(或者说曲线无打折现彖)。(可导)③ 两端点A、B的连线与X轴平行。(端点高度相同)结论:至少存在一点,使得其切线平行于兀轴。图1分析意义:定理3. 1如果函数y = f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[Q,b]上连续;(2) 在开区间(d,b)内可导;⑶ f(a) = f(b).则在区间(q,“)内至少存在一点j ,使得/W = 0例1:验证罗尔中值定理对函数/(x) = x3+3x2,在区间[-3, 0]上的止确性。并求出罗 尔定理结论中的解:我们从定理中的三个条件來逐一判断,是否符合。条件①:f(x) = x3+3x2是初等函数,所以函数f⑴在[-3, 0]上连续,叩条件①符合。条件②:ff(x) = 3x2+6x,所以函数/(切在(一3,0)内可导,条件②符合。条件③:/(-3) = /(()) = 0,条件③符合。所以于(Q在[-3, 0]上满足罗尔定理的条件。令f'(x) = 3x2 +6x = 0 ,解得x = 0, x =-2 f因为x = 0不在区间(一3,0)内,故舍去。 所以取"-2,即在(一3,0)内存在一点"-2,使得所以罗尔中值定理结论 屮的^ = -2.思考:如果罗尔中值定理的条件有一个不成立,结论会如何?例2:验证函数忖在区间[-1, 1]上是否满足罗尔定理,若满足求出罗尔定理结论中 的“解:我们从定理中的三个条件来逐一判断,是否符合。由y = |x|的图象可知:条件?y = |x|在卜1, 1]上连续,即条件①符合。条件②:T=|x|, x = 0点是一个尖点,即)忖在x = 0点不可导,所以条件②不符合。所以y = |x|在[-1, 1]±不满足罗尔定理的条件。同时我们从图2也可以看到y = |x|在(-1, 1)内不存在点使得其切线平行丁轴。即 不存在点,使得广© = 0。课堂练习:验证函数y = x2-x在区间[(),1]上是否满足罗尔定理,若满足求iii罗尔定理结论中的(答案:满足,§二丄)2强调:1.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;2. 使得定理成立的歹可能多于一个,也可能只有一个.在罗尔中值定理中条件/⑺)=/⑹比较特殊,使他的应用受到限制。若在罗尔中值定理 屮,f⑷"(b),其余条件不变,则我们得到:二、拉格朗日中值定理拉格朗H(Lagrange 1736-1813)法国数学家。普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲 最人之数学家”,他在数学、力学和夭文学三个学科领域屮都有历史性的贡献,其屮尤以数 学方面的成就最为突出。在介绍拉格朗口中值定理之前先简单介绍拉格朗口的生平。如图3,若f(a)^ f(b),其余条件不变,则/(力在区间@上)上至少有一条切线平行于 弦AB o我们说这就是微分屮值定理之一……拉格朗口屮值定理的儿何解禅。几何意义:① 在[d,b]上/(X)是一条连续的曲线。(连续)② 在(G,b)内处处光滑无尖点(或者说曲线无打折现象)。(可导) 结论:至少存在一点歹,使得其切线平行于弦AB。分析意义:定理3. 2设函数.f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,切上连续, (2)在开区间⑺上)内可导,则在区间@,方)内至少存在一点e,使得?/")-?/«)=. b-a上式也可表示成f(b) -f(a)=广£)(b - a)?例3:验证函数/(x) = x2+l在闭区间[1, 4]上是否满足拉格朗日中值定理的条件,并求 出拉格册日中值定理结论中的g 0解:我们从定理屮的两个条件来逐一判断,是否符合。条件1: /(x) = x2+l是初等函数,所以函数/⑴在[1, 4]上连续,即条件1成立。条件2: f\x) = 2x ,所以函数/(兀)在(1,4)内可导,条件②符合。所以兀对在[1, 4]上满足拉格朗日中值定理的条件。又/(1) = 2,于⑷= 17,令广©=/⑷7⑴,即2^ = — ,得。所以拉格朗日中值4 — 1 3 2定理结论中的jo推论3?1若函数f⑴在区间(a, b)上导数恒为零,则/⑴在区间(a, b)上是一个常数.即 f(x) = C思考:若其余条件不变,在区间(a,b)内恒有广⑴二g©),则拉格朗日中值定理的结论会如何?推论3?2若
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