第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念

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1、第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消兀法解二兀线性方程组a]lxi+al2x2=b]a2lx{+a22x2=b2⑴⑵'方程⑵XQii-方程⑴“21得（d11。22-。12。21）兀2=d11〃2-b16/21,于是"

2、^22Q]2"^a\a22~a2a2}类似地有（Q11。22—Q12^21）^1=b22—Q12加,X2=纠］优如2

3、°11°22d]2。21我们把。11。22一。12。21称为二阶行列式,并记为丁a2la\a2a2°22在二阶行列式

4、如如中，横排称为行，竖排称为列.旳称为行列式的元索,它是行列式中第廿亍第/列的元素.从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线，从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线.于是二阶行列式是主对角线上两元索之积减去的副对角线上二元索之积所得的差，这一计算法则称为对角线法则.按对角线法则可得切22-®2乞=I,若记D=a'[%ba2]b2,则线性方程组的解可表为勺a[2如b】Z?2。22x-2-a2l“2a\a2，X2~D~Cl1a2。21。22a2a22，Di=，D?=baih

5、2a22求解二元线性方程组3召一2兀2=12,2xl+x2=l.=3-(-4)=7^0,由于3-221=12—(—2)=14,*=3—24=—21,因此D、14cD,-21QX—D_7'X1~D~1~5、三阶行列式o11xl+a12x2+a13x3=feI用消元法解三元线性方程组讣+如兀2+讣弋，可得°3丿1+°32兀2+a33X3=S勺°22°33—°12°23〃3+43“2°32一勺°23°32一2“2°33一°13°22“3也=…，兀3=•••我们把表达式a11。22。33+。12。23

6、。31+。13。21。32一。11^23。32一。12。21。33一。13^22^31称为三阶行列式，记为41a2i°31a!2a22a32如。23=ClH。22°33+。12°23°31+d13°21。32°33一d11。23。32一Q12^21。33一d13。22。31•对角线法则:按对角线法则，有=b1。22。33+。12。23“3+。13加。32~b1。23。32-。12仇。33-。13。22“3•若记-D口23XQdQ2323123-D勺伏伏•-41-2则三元线性方程组的解为§1.2全

7、排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没冇重复数字的三位数？解百位上可以从1、2、3中任意选取一个，共有3种选法；百位数字确定后，十位上的数字在剩余的两个数屮选取，共冇两种选法；百位和十位上的数字都确定后，个位上的数字只能取剩下的一个数字，即只有一种选法.因此总共有3x2xl=6种选法，即可以组成6个没有重复数字的三位数.这6个三位数是123,231,312,132,213,321.我们把n个不同的对彖（称为元素）排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.斤个不同元素的所有

8、排列的总数，通常用几表示.Pn的计算公式：--3-2-l=n!.比如由q,b,c组成的所有排列为abc,acb.bac,bca,cab,cba.abb是排列吗？以下我们只讨论〃个自然数的全排列.在斤个口然数的全排列中排列123称为标准排列.在一个排列中，如果某两个兀素的先后次序与标准排列的次序不同，就说有1个逆序.一个排列屮所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.逆序数的计算法：在排列肋2••也中，如果Pi的前面有心个大于Pi的数，就说元素

9、Pi的逆序数是h全体元索的逆序数之和r=fi+/2+•••+S即是这个排列的逆序数.例4求排列32514的逆序数.解在排列32514中,勺=0,“=1,B=0,血=3,“=1,3位于首位，其逆序数为0;2的前面比2大的数有一个（3）,故其逆序数为1;5的前而没冇比5大的数，故其逆序数为0;1的前面比1大的数有三个（3、2、5）,故其逆序数为3;4的前面比4大的数有一个（5）,故其逆序数为1;于是排列32514的逆序数为匸()+1+0+3+1=5.标准排列12345的逆序数是多少?§1.3n阶行列

10、式的定义为推广行列式概念，必须找出二阶、三阶行列式的展开式的共同特征.观察展开式a\ai2。13a2la22a23=a11a^a^a2^23^3113^21^32°31a32a33-d11023032一Q12。21。33一d13。22。31•可以得到如下规律：(1)三阶行列式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.行列式右边任一项除正负号外可以写成ap{a2P1a3p3，这里第一个下标(行标)排列成标准次序123,而第二个下标(列标)排成其中门P/3它是1、2、