第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念

(32页)

'第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念'
第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消兀法解二兀线性方程组a]lxi+al2x2=b]a2lx{+a22x2 =b2⑴⑵'方程⑵XQii-方程⑴“21得(d 11。22-。12。21)兀2= d 11〃2-b 16/21, 于是"|^22 Q] 2"^a\\a22~a\2a2}类似地有(Q11。22—Q 12^21) ^1= b\022—Q12加,X2 =纠]优 如2|°11°22 d] 2。21我们把。11。22一。12。21称为二阶行列式,并记为丁a2la\\a2\a\2°22在二阶行列式如如中,横排称为行,竖排称为列.旳称为行列式的元索, 它是行列式中第廿亍第/列的元素.从左上角元素到右下角元素的实联线称为主 对角线,从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线.于是二阶行列式 是主对角线上两元索之积减去的副对角线上二元索之积所得的差,这一计算法 则称为对角线法则.按对角线法则可得切22-® 2乞=I,若记D=a'[% b\ a2 ] b2,则线性方程组的解可表为勺a[2如b】Z?2 。22x - 2 -a2l “2a\\ a\2,X2~ D~Cl\ 1 a\2。21 。22a2\ a22,Di =,D?=b\ a\ih2 a22求解二元线性方程组3召一2 兀2 = 12, 2xl+x2=l.=3-(-4) = 7^0,由于3 -22 1= 12—(—2) = 14,* = 3—24=—21,因此D、 14 c D, -21 Q X\— D_ 7 ' X1~ D~ 1 ~ 5、三阶行列式o11xl+a12x2+a13x3=feI用消元法解三元线性方程组 讣+如兀2 +讣弋,可得°3丿1 +°32兀2 +a33X3 =S勺°22°33 — °12°23〃3 +43“2°32 一勺°23°32 一2“2°33 一 °13°22“3也=…,兀 3= ? ??我们把表达式a 11。22。33+。12。23。31 +。13。21。32一。11 ^23。32 一。12。21。33 一。13^22^31 称为三阶行列式,记为41a2i°31a!2 a22 a32如。23 =Cl H。22°33+。12°23°31 +d 13°21。32°33一d 11。23。32 一 Q 12^21。33 一 d 13。22。31 ?对角线法则:按对角线法则,有=b 1。22。33+。12。23“3+。13加。32~b 1。23。32-。12仇。33-。13。22“3 ? 若记- D口23XQ d Q2323123- D勺伏伏?-41-2则三元线性方程组的解为§1.2全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字,可以组成多少个没冇重复数字的三位数?解 百位上可以从1、2、3中任意选取一个,共有3种选法;百位数字确 定后,十位上的数字在剩余的两个数屮选取,共冇两种选法;百位和十位上的 数字都确定后,个位上的数字只能取剩下的一个数字,即只有一种选法.因此 总共有3x2xl=6种选法,即可以组成6个没有重复数字的三位数.这6个三位 数是123, 231,312, 132,213, 321.我们把n个不同的对彖(称为元素)排成一列,叫做这n个元素的全排列(也 简称排列).斤个不同元素的所有排列的总数,通常用几表示.Pn的计算公式:- - 3-2-l=n!.比如由q, b, c组成的所有排列为a b c, a c b.b a c, b c a, c a b, c b a .abb是排列吗?以下我们只讨论〃个自然数的全排列.在斤个口然数的全排列中排列123称为标准排列.在一个排列中,如果 某两个兀素的先后次序与标准排列的次序不同,就说有1个逆序.一个排列屮 所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.逆序数的计算法:在排列肋2??也中,如果Pi的前面有心个大于Pi的数,就说元素Pi的逆序 数是h全体元索的逆序数之和r=fi+/2+ ? ? ? +S即是这个排列的逆序数.例4求排列32514的逆序数.解 在排列 32514 中,勺=0, “=1, B=0,血=3, “=1,3位于首位,其逆序数为0;2的前面比2大的数有一个(3),故其逆序数为1;5的前而没冇比5大的数,故其逆序数为0;1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故其逆序数为3;4的前面比4大的数有一个(5),故其逆序数为1;于是排列32514的逆序数为匸()+1+0+3+1=5.标准排列12345的逆序数是多少?§1.3n阶行列式的定义为推广行列式概念,必须找出二阶、三阶行列式的展开式的共同特征.观察 展开式a\\ ai2 。13a2l a22 a23 =a 11 a^a^a \ 2^23^31 13^21 ^32°31 a32 a33-d 11023032 一 Q12。21。33 一 d 13。22。31 ?可以得到如下规律:(1) 三阶行列式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同 的行、不同的列.行列式右边任一项除正负号外可以写成a\p{a2P1a3p3,这里第一个下标(行标)排列成标准次序123,而第二个下标(列标)排成其中 门P/3它是1、2、3三个数的某个排列.这样的排列共有6种,对应行列式右边 共含6项.(2) 各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列是:123, 231,312; 带负号的三项列标排列是:132, 213, 321.经计算可知而三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排列.因此各项 所带的正负号可以表示为(-1);其屮f为列标排列的逆序数.总之,三阶行列式可以写成a\\ a\25 。22 。23=》(一厅勺严2"2他小,°31 °32 。33其中t为排列PW2P3的逆序数,工表示对1、2、3三个数的所有排列P\P2P3取和. 仿此可以把行列式推广到一般情形.定义 由n2个数ciij (i,戶1, 2,…,力构成的代数和称为n阶行列式,记为Cl\\ ai2 …a\nD= a2\ a22 …a2n ,? ?? ??? ??? ???anl an2 …%简记为det(殉),其中”卩2…P
关 键 词:
第一章 行列式 基本 计算 线性代数 基本概念
 天天文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文
本文标题:第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念
链接地址: https://www.wenku365.com/p-42207664.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服点击这里,给天天文库发消息,QQ:1290478887 - 联系我们

本站为“文档C2C交易模式”,即用户上传的文档直接卖给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有【成交的100%(原创)】。本站是网络服务平台方,若您的权利被侵害,侵权客服QQ:1290478887 欢迎举报。

1290478887@qq.com 2017-2027 https://www.wenku365.com 网站版权所有

粤ICP备19057495号 

收起
展开