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1、1,线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于"阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.(2)互换行列式的两行（列），行列式变号。(3)(4)行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数氐，等于用数氐乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子无，则氐可提到行列式记
2、号之外。（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数氐，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。2、行列式的按行（按列）展开⑴代数余子式^把农阶行列式中（心）元陶所在的第i行和第/列划掉后所剩的//—1阶行列式称为（A/）元竹的余子式，记作Mjj；••记令=（—1厂则称令为（ij）元陶的代数余子式。（2）按行（列）展开定理：〃阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和即可按第i行展开：D="订41+"「2
3、42+…+"加4宛，（，=1，2，・・・，m）也可按第丿•列展开：D=«iyAiy+ayA^j+…+anjAnj,（/=1,2,…，fi）（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即+«/2A7.2+...+©•“％“=0,（心力；或++...+0加4沪（i北力。3、克莱姆法则：x.=—（i=h2，・・・m）,其中D是把D中D第i列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上（下）三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别,（主）对角行列式等于其对角线上各元
4、素的乘积。学会利用行列式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。例求行列式①D=a2(a+1尸(a+2)2(a+3)b2(b+lF(b+2)，(b+3)(C+F(c+2)2(c+3)d2(d+l)2(d+2)2(d+3)222122・・・2222・・・29=223・・・2222・・・n5x(+6%2=1丙_i_+6七=0例用克莱姆法则解下列方程组:x2+5a3+6x4=0冯+5无4+6^=0兀+5冯=1第二章矩阵及其运算了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练掌握矩阵的
5、线性运算(加法与数乘入矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置.方阵的行列式及其运算规律;掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。1、矩阵的运算(1)矩阵加法满足(A,B,CgMmn)(a)4+B=B+A(b)(A+B)+C=A+(B+C)(2)数乘矩阵满足(几,“gR,A,BeMmn)(a)2(“A)=(S)A(b)(2+/z)A=2A+juA(c)2(A+B)=QA+兄B(3)矩阵与矩阵相乘满足(前面矩阵的列数=后面矩阵的行数)(a)(AB)C=A(BC)(b)A(B+C)
6、=AB+AC(c)(2A)B=A(2B)=2(AB)注意:(a)一般情况下，AB^BA；若AB=BA9则称A,〃是可交换的。(b)即便AB=0,A,B可以都不是零矩阵。(4)矩阵的转置满足(a)(M)=A(b)(A+B)t=”+矿(c)(2A)卩=>lAr(d)(e)(5)(a)(b)(AB)rA7A=0oAAr=0oA=0方阵的^Akd为正整数，Ag)AkAl=Ak+l(A^)Z=Akl(k,l均为正整数)。若方阵A.B是不可交换的，贝U(A+B)2^A2+2AB+B2;(AB)k^AkBko(6)方阵的行列
7、式均为方阵)满足(a)Ar=Ao(b)
8、2A
9、=r
10、A(c)
11、ab
12、=
13、a
14、
15、b2、逆矩阵(1)定义：设AgMw,若有BeM十使得AB=BA=E(单位阵)，则称矩阵A是可逆的，B是A的逆阵，记作B=A"'o(2)方阵A可逆o罔工0o有B,使AB=E^有B,使B4=Eo(3)逆阵的性质(a)若A可逆，则人7也可逆，且(A"1)1=A_]t(b)若A可逆，则也可逆，且(Ar)=(人》)(C)若A可逆，krO,则比4也可逆，且(M)J=丄k(d)若均可逆，则〃也可逆，且(AB)-'=BlAl(1)伴随矩阵:设AgM„,
16、A的伴随阵A定义为A"=(A..),(其中令是
17、A
18、中(心)元的代数余子式。伴随阵的性质：(a)AA"=A'A=AE(b)若同工0,则A-1=—•A*,A"=AA~l（C）若
19、牛0,则(d)n-(e)*AT}3、克莱姆法则的矩阵表示若A^0,则方程组Ax=b有唯一解x=A~lb="1000、例求下列方阵的逆：12f*2130J214,"010、例设A=-111,一
