2014年北京高考数学(文科)试题

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，，则（）A.B.C.D.2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A.B.C.D.3.已知向量，，则（）A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.B.C.D.5.设、是实数，则“”是“”的（）A.充分而不必要

2、条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.B.C.D.7.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A.B.C.D.8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟第2部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.若，则.10.设双曲线

3、的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.12.在中，，，，则；.13.若、满足，则的最小值为.14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，

4、，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.18.（本小题13分）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数123456789合计阅读时间（Ⅰ）从该校随机选取一名

5、学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．（只需写出结论）19.（本小题满分14分）已知椭圆C：.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.20.（本小题满分13分）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生

6、全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C2．B3．A4．C5．D6．C7．B8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．210．11．12．13．114．42三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分）【解析】⑴设等差数列的公差为，由题意得所以．设等比数列的公比为，由题意得，解得．所以．从而⑵由⑴知．数列的前项和为，数列的前项和为．所以，数列的前项和为．16．（共13分）【解析】⑴的最小正周期为．⑵因为，所以．于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值．17．（共14

7、分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．所以．又因为．所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅲ）因为，，，所以．所以三棱锥的体积．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为．（Ⅱ）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以．课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所

8、以．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率．（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，其中．因为，