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时间:2019-09-10
《2014年全国高中数学联赛数论试题解答》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2014年全国高中数学联赛数论试题解答1.(2014年全国高中数学联赛试题,二试,第四题,50分)整数除以的余数互不相同,整数除以的余数也不相同,证明:可以听将重新排列为,使得除以的余数互不相同.证明:由于交换同组数的位置对问题不产生影响,因此可以假设对于每一个,有…………①于是…………②(ⅰ)若为偶数,则.(这是因为,假设,则这与为偶数矛盾.)取则(ⅱ)若为奇数,则(这是因为,假设则这与为奇数矛盾.)取则由(ⅰ)和(ⅱ)得,对每一,易知可重新排序为,且对每一,都有…………③由①②两式得,对每一有…………④下面证明,对每一及每一,都有…………⑤假设对某
2、一及某一,有则从而有④式得于是,这与③式矛盾.下面证明,当时,有…………⑥且…………⑦假设有满足的整数,使得,则,从而由④式得.这与矛盾.故⑥式成立.假设有满足的整数,使得,则,从而有④式得这与矛盾.故⑦式成立.由⑤⑥⑦三式得除以的余数互不相同.2.(2014年全国高中数学联赛B卷试题,加试题,第三题,50分)给定正整数,是非零整数,且为奇数,假定方程有整数解,其中证明:是某个整数的次幂.证明:设,其中,则由得所以于是…………①又因为且,所以由假定为奇数得,也为奇数,而,从而于是从而由可得,从而于是…………②由①②两式得于是,即是整数的次幂,这就是我们
3、所要证明的.
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