热传导方程中的若干反问题

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1、复旦大学博士学位论文热传导方程中的若干反问题姓名：贾现正申请学位级别：博士专业：计算数学指导教师：程晋20050930摘要本文对热传导方程的一些反问题作了研究。首先，对一维的热传导方程的非特征Cauchy问题，我们利用边界积分方法将问题的求解转化成解积分方程组的问题，再对积分方程组进行离散化来数值求解，最后的数值结果表明我们的算法是有效的．对于二维和三维的热传导方程的非特征Cauchy问题，我们利用权函数方法，给出了一个显式的HSlder型的稳定性估计，特别的，对于二维的非特征Cauchy问题，我们利用充分离散的方法，对二维问题的离散形式同样给出了HSlder型的稳定性估计

2、，同时，我们也给出了数值例子来说明我们的估计．在本文中，我们还讨论了反热源问题，在热源项为，(t)毋(茁)，且函数≯(z)已知的情况下，我们对反热源问题做了一些研究，对f(t)是分段常数的情形给出了一个Lipschitz型的稳定性估计，最后我们给出了一种计算函数f(t)的一种计算方法，利用这种方法，进行了数值计算。关键词：边界积分方法，非特征Cauchy问题，稳定性估计，反热源问题INTRoDUCTIoNInthispaper，someinverseproblemsfortheheatequationareconsideredFirst，wediscussthenoncha

3、racteristicCauchyproblemfori-Dheatequa-tion．Byusingfundamentalsolution，theproblemistransformedintoaboundaryintegralequations．WeprovetheuniquenessforthenoncharacteristicCauchyproblemandproposethenumericalalgorithm．ThenumericalresultsshowthatourmethodiSeffectiveForthenoncharacteristicCauchyp

4、roblemfor2-Dand3-Dheatequation，wegivetheexplicitHSIdertypestabilityestimatesbyusingweightedenergymethod．Especially，HSldertypestabilityestimatefordiscretesolutionsoftheheatequationisobtainedthroughafullydiscretemethod．Thenumericalresultsarepresented．Wealsodiscusstheinversesourceproblemforth

5、eheatequation，wherethefunctionofthesourcetermhastheform，(t)妒(z)．Ifthefunction≯(z)isgiven，weprovetheLipsehitzstabilityresultsundertheassumptionthatf(t)isapiecewiseconstantfunction．Thenewalgorithmisproposedtoreconstructthefunction，(t)．Somenumericalresultsarepresented．Keywords：boundaryintegra

6、lmethod，nonchatacteristicCauchyprob-stabilityestimate，inversesourceproblem，11第一章基础知识和一些记号由于本文讨论了热传导方程的一些问题，因此在这儿我们首先简要介绍一下关于热传导方程的一些基础知识，因为这些知识都是比较基础的，都能在很多的关于热传导问题的书中找到．同时，我们对Sobolev空间的知识也作了一点简单的介绍。§1．1热传导方程的简单介绍在不少实际问题中，经常要考察空间某物体Q上各点的温度分布状态，热传导方程就是从相应的物理模型中归结出来的，在研究热传导，扩散等物理现象时都会遇到热传导方程

7、。对于热传导方程u。=u。，我们在这儿做一些简单介绍．参见f81．§1．1．1热传导方程的解的一些性质首先我们介绍一些热传导方程的解的性质。(1)线性组合：如果ul和u2是解，则Q“1+卢“2也是解。(2)平移性质：如果u(z，t)是一个解，则u∞一∈，t—r)也是解。(3)关于一个参数的微分：如果对于＆∈[a，b]，u(x，t，口)是一个解，那么“。(z，t，＆)对于。∈h6】也是一个解．(4)关于一个参数的积分：如果对于＆∈[a，b】，u(x，t，a)是一个解，那么ru(x，t，Q)do也是一个解．(5)仿射变