圆锥曲线之椭圆题库_含详解_高考必备

《圆锥曲线之椭圆题库_含详解_高考必备》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、椭圆题库1、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1）当时，求的面积；（2）当时，求的大小；（3）求的最大值.解：（1）（2）因，则（1）设，当时，2已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）求点T的轨迹C的方程；（2）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.5

2、4当

3、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（2）解：C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，，由，，，得3已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则故C

4、2的方程为（II）将54由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范围为4．已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.54（1）解：由椭圆定

5、义及条件知2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5.又c＝4，所以b＝＝3．故椭圆方程为＋＝1．（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝．方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．根据椭圆定义，有｜F2A｜＝（－x1），｜F2C｜＝（－x2）．由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得（－x1）＋（－x2）＝2×．由此得出x1＋x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），则x0＝＝＝4．（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x12＋25y12＝9×25，④9x22＋25y

6、22＝9×25．⑤由④－⑤得9（x12－x22）＋25（y12－y22）＝0，即9（）＋25（）（）＝0（x1≠x2）.将＝x0=4，＝y0，＝－（k≠0）代入上式，得9×4＋25y0（－）＝0（k≠0）．由上式得k＝y0（当k＝0时也成立）.由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m，所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0．由P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得－＜y0＜.所以－＜m＜．5设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+

7、（y－2）j，且

8、a

9、+

10、b

11、=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.54（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.（1）解：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且

12、a

13、+

14、b

15、=8，∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.∵=+=0，∴P与O重

16、合，与四边形OAPB是矩形矛盾.∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx－21=0.此时，Δ=（18k2）－4（4+3k2）由y=kx+3，+=1，（－21）＞0恒成立，且x1+x2=－，x1x2=－.∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即·=0.∵=（x1，y1），=（x2，y2），∴·=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）·（－）+3k·（－）+9

17、=0，即k2=，得k=±.∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.6设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点）