线性代数同济第五版

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1、相似矩阵及二次型第五章§1向量的内积、长度及正交性1.定义：内积一、内积的定义及性质注：2.内积的运算性质（施瓦兹不等式）1.定义：令长度范数2.性质：二、向量的长度及性质3.单位向量：4.n维向量间的夹角1.正交的概念2.正交向量组的概念三、正交向量组的概念及求法若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．证明：3.正交向量组的性质4.向量空间的正交基5.规范正交基如，（ⅰ）正交化：（2）求规范正交基的方法步骤：取，（ⅱ）单位化：取施密特正交化过程例1用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解：

2、取先正交化.再单位化，得规范正交向量组如下：1.正交矩阵（2）定理：四、正交矩阵与正交变换（1）定义：A的列（或行）向量都是单位向量且两两正交．A为正交矩阵注：正交矩阵A的n个列（或行）向量构成向量空间Rn的一个规范正交基．（3）性质：正交变换保持向量的长度不变．若为正交阵，则线性变换称为正交变换．2.正交变换（1）定义：（2）性质：例2判别下列矩阵是否为正交阵．解：所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于解：§2方阵的特征值与特征向量注：一、特征值与特征向量的概念2.特征方程与

3、特征多项式3.特征值的性质例1求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结：二、特征值和特征向量的性质注：10属于不同特征值的特征向量是线性无关的．30矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．20属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．例2证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证:再继续施行上述步骤次，就得（1）（2）例3设A是阶方阵，其特征多项式为：解：AT与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值1．将一组基规

4、范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．小结：2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：思考题：思考题解答：