统计假设检验的思想

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1、统计假设检验的概念和思想方法引言前一章中我们讨论了如何根据样本去得到总体分布中所含参数的最优（优良）估计。用参数估计方法得到的总体参数的优良估计值，去代替总体分布的未知参数而得到的“总体”，与真的总体作比较，就要考察它们之间是否在统计意义上相拟合，尽管这种比较也只能在样本的基础上进行。那么，怎样在样本的基础上做出一个有较大把握的结论，就是统计假设检验问题。事实上，实际中很多统计问题都可以作为统计假设检验问题予以解决。一.假设检验的概念我们来看一个例子。例1：设某厂生产一种灯泡，其寿命服从的正态分布，从过去较长一段时间的生产情况看，灯泡的平均寿命小时。现在采取新工艺后，在所生

2、产的灯管中抽取25只测得平均寿命为1650小时。问：采用新工艺后，灯管的寿命是否有显著提高？本例的问题就是要我们判断：新产品的寿命是：1、服从正态分布呢？还是2、仍然服从的正态分布呢？若新产品的寿命是服从的正态分布，就说“新产品的寿命有显著提高”；若新产品的寿命是仍然服从的正态分布，就说“新产品的寿命没有显著提高”。在上面的例子中，我们可以把涉及到的两种情况用统计假设的形式表示出来。第一个统计假设：。称为原假设，用符号：表示。，表示“采用新工艺后，灯管寿命没有显著提高。”即“和老产品一样，服从均值为1500的正态分布”。第二个统计假设：。称为备选假设，用符号：表示。，表示“

3、采用新工艺后，灯管寿命有显著提高。”即“不同于老产品，服从均值大于1500的正态分布”。今后，我们把任意一个有关总体分布不确定的假设称为统计假设或简称假设。至于在两个假设中用哪个作为原假设，哪个作为备选假设呢?要看具体的目的和要求而定。（1）一般，假如我们的目的是希望从样本观测值对某一陈述取得强有力的支持，我们就将这一陈述的否定作为原假设，而把陈述本身作为备选假设。对例1我们作的统计假设就是这样的。因为，新工艺是延长灯泡寿命的一种革新，我们当然希望新工艺能使灯泡的寿命确有提高，但它又不象老产品那样有较多的数据。为此，我们以“即寿命没有提高”作为原假设，以“寿命显著提高”作为

4、备选假设。（2）有时，原假设的选定还要考虑数学上的处理方便。在许多问题中，总体分布的类型为已知，仅仅是其分布函数中的一个或几个参数为未知，只要对这一个或几个参数的值作出假设，就可以完全确定总体的分布。如上例只要对作出假设即可。这种仅涉及到总体分布的未知参数的统计假设称为：参数假设。在有些实际问题中，我们不知道总体分布的具体类型。比如：某种蔬菜的农药残留量，它可能服从对数正态分布，也可能服从其它分布。因此，对它的统计假设就只能对未知分布的类型或它的某些特征提出某种假设。这种不同于参数假设的统计假设称为：非参数假设。例如：设某种蔬菜的农药残留量X的分布函数为F（x）,F(x){

5、对数正态分布族}；F(x){正态分布族}都是非参数假设。从上面我们看到，一个统计假设是对总体分布状态的一种陈述。如果一个统计假设可完全确定总体的分布，则称这种假设为：简单统计假设或简单假设。否则，称为：复合统计假设或简称复合假设。例如：完全确定总体的分布，是简单假设；而：是复合假设。统计假设检验问题的一般提法是：在给定备选假设下，对原假设作出判断。若拒绝原假设，那就意味着接受备选假设；否则，就接受原假设。简单地说，统计假设检验问题，就是要在原假设备选假设中作出拒绝哪一个接受哪一个的判断。这类假设检验问题常称为对的检验问题。小结：统计假参数假非参数假复合假设简单假设原假设备选

6、假设拒绝在对的检验问题中，要作出某种判断，必须从样本出发，制定出一个“法则”，一旦样本观测值确定后，我们就可以用所构造的“法则”作出：拒绝，还是拒绝的判断。那么我们的检验“法则”是什么呢？它应该是以定义在样本空间上的一个样本函数为依据所构成的一个“准则”。一旦样本观测值确定后，我们就可以根据这个“准则”作出：“拒绝”，还是“拒绝的”判断。二、假设检验的思想方法我们的检验准则本质上就是：把样本空间划分成两个互不相交的子集和，（子空间）使得当样本观测值点时，我们就将拒绝原假设（也即接受备选假设）；否则，我们将接受原假设（也即拒绝备选假设）。这样的划分构成一个准则，我们称这样的样

7、本空间的子集为假设检验的临界域（或拒绝域）。拒绝接受接受n维空间拒绝划分反之，一旦我们给出了某个检验“准则”，也就给出了样本空间的一个“划分”。由于样本的随机性，在进行判断时，我们还是有可能犯两类错误：拒绝接受接受n维空间拒绝第一类错误拒真、弃真第二类错误受假、受伪判断属于拒绝（接受）拒绝（接受）总体假设当为真（为假）犯第一类错误正确当为真（为假）正确犯第二类错误划分第一类（弃真、拒真）错误发生的概率称为犯第一类错误的概率或拒真概率。通常记为，即：P（拒绝

8、为真）=第二类（受假、受伪）错误发生的概率称为犯第二类错误