《圆面积的综合

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1、圆面积的综合应用（例3）（第69～70页）编写意图(1)例3通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。(2)例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情境，直观清晰地提出了需要解决的数学问题——求正方形与圆之间的那部分面积。两个图中的圆大小相同，但正方形位置与大小都不同。很自然地引出一个问题：中间部分的面积与圆的面积有没有关系？有什么样的关系？例3给

2、出一个特殊的圆半径(1m)，先解决特殊问题，在“反思”部分再讨论一般性的规律。(3)“分析与解答”引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图，很容易看出正方形的边长就是圆的直径；第二个图，正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积。此时，就需要转换思路，将正方形看成两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形（或四个小三角形）。教学建议(1)引导学生经历问题解决的全过程。要引导学生经历解决一个问题的所有步骤：理解现实的问题情境，转化成要解决的数学问题，分析问题，从而找到解决问题的方案并解决之，对解答的结果

3、和解决的方法进行检验和回顾反思。重点是使学生在解决问题的过程中积累一般性的问题解决经验。例如，把实际问题用数学的方式表征出来，在解决问题过程中寻求不同的思考角度，解决问题结束之后对解题过程进行回顾与反思，展开进一步的讨论，都是学生问题解决能力的体现。(2)引导学生克服思维定式，多维思考。当学生无法直接求出圆内接正方形的边长时，引导学生思考：能与正方形发生联系的只有圆的直径或半径。而直径恰好是正方形的对角线，虽然仍然不能求出正方形的边长，但可以把正方形的面积转化为两个三角形的面积之和。这种添加辅助线的方法并不是一下

4、子能够找到的，要引导学生利用问题中的可用信息“顺藤摸瓜”，一点点找到解题线索。(3)适时渗透中国传统文化的教育。“外方内圆”“外圆内方”体现了中国的传统文化，这种思想在建筑、器物中都有所传递。教学时也要适时渗透。编写意图(1)在前面的解题环节，学生发现正方形与圆之间的面积与圆的半径是有关的，那到底有什么样的关系呢？因此，在“回顾与反思”这一环节，需要继续延伸讨论，进一步探讨一般化的结论。圆的半径是厂与半径是1m的解题思路完全相同，因为半径1m只是其中的一种特例。让学生利用刚才的方法，得到一个代数式的结果。把r＝1

5、m代入，与前面的结果相符，以此检验这个代数式的正确性。(2)“做一做”，只是例题的简单变式，只是给出的是圆的直径而不是半径，解题思路没有变化。(3)“生活中的数学”向学生展示了一些生活中司空见惯却不曾引起我们深思的现象——为什么我们周围很多东西的平面轮廓都是圆形的？车轮做成圆形、车轴安装在圆心处是利用了同一圆的半径都相等的原理，这样开起来平稳。井盖做成圆形是利用了同一圆的直径都相等的原理，这样，井盖不会掉进井里，而长方形的盖子很容易从对角线处掉下去。这样的材料，能激发学生探究数学原理的兴趣，加深对数学应用价值的体

6、会。教学建议(1)引导学生养成在“回顾与反思”进行进一步讨论的习惯。对于问题解决而言，不应把目标简单地设定于解决一个具体的问题，而应着眼于问题解决一般性能力的培养。以一个具体问题的结果为基础，进一步延伸思考，是问题解决能力的重要方面，这也是合情推理能力的重要体现。因此，教材在“回顾与反思”阶段，引导学生把特殊结论一般化，使学生看到，不管圆的大小如何改变，外切四边形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍，而内接正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍。对于同一个圆而言，两个正方形之间的面积是半径平方的2倍。(2

7、)引导学生发现生活中的数学。教材上的“生活中的数学”介绍了圆在生活中的广泛应用。教学时要试着让学生解释一下车轮做成圆形和井盖做成圆形的主要原因，老师也可以搜集相关的资料加以说明。还可以借助课件，演示车轮是正方形或车轴不在圆心时的行驶状态。在此基础上，要引导学生善于用数学的眼睛去观察日常生活中一些习以为常的现象，发掘其中的数学原理。